Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14342 / 20230
↖ ↑ ↗
← S 38.873929°
W 22.434082°		 ← 951.08 m → S 38.873929°
W 22.423096°		 →
↑
951 m
↓
↑
951 m
↓
S 38.882481°
W 22.434082°		 ← 950.97 m →
904 423 m²		 S 38.882481°
W 22.423096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437698364257812 y=0.617385864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437698364257812 × 215)
    floor (0.437698364257812 × 32768)
    floor (14342.5)     		tx = 14342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617385864257812 × 215)
    floor (0.617385864257812 × 32768)
    floor (20230.5)     		ty = 20230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14342 / 20230 ti = "15/14342/20230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14342/20230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14342 ÷ 215
    14342 ÷ 32768     		x = 0.43768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20230 ÷ 215
    20230 ÷ 32768     		y = 0.61737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.1246337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39154860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.2347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.737461263754944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39154860} λ = -0.39154860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.737461263754944))-π/2
    2×atan(0.478326720756297)-π/2
    2×0.446159140308322-π/2
    0.892318280616644-1.57079632675     		φ = -0.67847805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39154860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.434082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67847805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.873929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14342 KachelY 20230 -0.39154860 -0.67847805 -22.434082 -38.873929
    Oben rechts KachelX + 1 14343 KachelY 20230 -0.39135685 -0.67847805 -22.423096 -38.873929
    Unten links KachelX 14342 KachelY + 1 20231 -0.39154860 -0.67862732 -22.434082 -38.882481
    Unten rechts KachelX + 1 14343 KachelY + 1 20231 -0.39135685 -0.67862732 -22.423096 -38.882481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67847805--0.67862732) × R
    0.000149269999999979 × 6371000     		dl = 950.999169999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67847805--0.67862732) × R
    0.000149269999999979 × 6371000     		dr = 950.999169999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39154860--0.39135685) × cos(-0.67847805) × R
    0.000191750000000046 × 0.778528809366346 × 6371000     		do = 951.081350777925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39154860--0.39135685) × cos(-0.67862732) × R
    0.000191750000000046 × 0.778435117517347 × 6371000     		du = 950.966893137782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67847805)-sin(-0.67862732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778528809366346-0.778435117517347)×R²
    abs(-0.39135685--0.39154860)×9.36918489994332e-05×R²
    0.000191750000000046×9.36918489994332e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.36918489994332e-05×40589641000000     		ar = 904423.152310902m²