Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14340 / 2283
↖ ↑ ↗
← N 78.157062°
E135.087891°		 ← 501.43 m → N 78.157062°
E135.109864°		 →
↑
501.53 m
↓
↑
501.53 m
↓
N 78.152551°
E135.087891°		 ← 501.62 m →
251 528 m²		 N 78.152551°
E135.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875274658203125 y=0.139373779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875274658203125 × 214)
    floor (0.875274658203125 × 16384)
    floor (14340.5)     		tx = 14340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139373779296875 × 214)
    floor (0.139373779296875 × 16384)
    floor (2283.5)     		ty = 2283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14340 / 2283 ti = "14/14340/2283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14340/2283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14340 ÷ 214
    14340 ÷ 16384     		x = 0.875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2283 ÷ 214
    2283 ÷ 16384     		y = 0.13934326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13934326171875 × 2 - 1) × π
    0.7213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26607311883929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35772847} λ = 2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26607311883929))-π/2
    2×atan(9.64146548987223)-π/2
    2×1.4674471922284-π/2
    2.9348943844568-1.57079632675     		φ = 1.36409806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36409806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.157062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14340 KachelY 2283 2.35772847 1.36409806 135.087891 78.157062
    Oben rechts KachelX + 1 14341 KachelY 2283 2.35811197 1.36409806 135.109864 78.157062
    Unten links KachelX 14340 KachelY + 1 2284 2.35772847 1.36401934 135.087891 78.152551
    Unten rechts KachelX + 1 14341 KachelY + 1 2284 2.35811197 1.36401934 135.109864 78.152551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36409806-1.36401934) × R
    7.87199999998656e-05 × 6371000     		dl = 501.525119999143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36409806-1.36401934) × R
    7.87199999998656e-05 × 6371000     		dr = 501.525119999143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35772847-2.35811197) × cos(1.36409806) × R
    0.00038349999999987 × 0.205229572310747 × 6371000     		do = 501.433001590874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35772847-2.35811197) × cos(1.36401934) × R
    0.00038349999999987 × 0.205306616029956 × 6371000     		du = 501.621240853576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36409806)-sin(1.36401934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205229572310747-0.205306616029956)×R²
    abs(2.35811197-2.35772847)×7.70437192085804e-05×R²
    0.00038349999999987×7.70437192085804e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.70437192085804e-05×40589641000000     		ar = 251528.449784058m²