Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14338 / 18374
↖ ↑ ↗
← N 78.094896°
W140.619507°		 ← 63.01 m → N 78.094896°
W140.616760°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.094330°
W140.619507°		 ← 63.01 m →
3 970 m²		 N 78.094330°
W140.616760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109394073486328 y=0.140186309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109394073486328 × 217)
    floor (0.109394073486328 × 131072)
    floor (14338.5)     		tx = 14338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140186309814453 × 217)
    floor (0.140186309814453 × 131072)
    floor (18374.5)     		ty = 18374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14338 / 18374 ti = "17/14338/18374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14338/18374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14338 ÷ 217
    14338 ÷ 131072     		x = 0.109390258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18374 ÷ 217
    18374 ÷ 131072     		y = 0.140182495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109390258789062 × 2 - 1) × π
    -0.781219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45427339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140182495117188 × 2 - 1) × π
    0.719635009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26080005988109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45427339} λ = -2.45427339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26080005988109))-π/2
    2×atan(9.59075927980933)-π/2
    2×1.46690469986346-π/2
    2.93380939972693-1.57079632675     		φ = 1.36301307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45427339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.619507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36301307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.094896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14338 KachelY 18374 -2.45427339 1.36301307 -140.619507 78.094896
    Oben rechts KachelX + 1 14339 KachelY 18374 -2.45422545 1.36301307 -140.616760 78.094896
    Unten links KachelX 14338 KachelY + 1 18375 -2.45427339 1.36300318 -140.619507 78.094330
    Unten rechts KachelX + 1 14339 KachelY + 1 18375 -2.45422545 1.36300318 -140.616760 78.094330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36301307-1.36300318) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dl = 63.0091900004326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36301307-1.36300318) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dr = 63.0091900004326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45427339--2.45422545) × cos(1.36301307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206291346056515 × 6371000     		do = 63.0066870248657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45427339--2.45422545) × cos(1.36300318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206301023318592 × 6371000     		du = 63.009642709797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36301307)-sin(1.36300318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206291346056515-0.206301023318592)×R²
    abs(-2.45422545--2.45427339)×9.67726207767861e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.67726207767861e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.67726207767861e-06×40589641000000     		ar = 3970.0934318435m²