Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14336 / 18373
↖ ↑ ↗
← N 78.095463°
W140.625000°		 ← 63 m → N 78.095463°
W140.622253°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.094896°
W140.625000°		 ← 63.01 m →
3 970 m²		 N 78.094896°
W140.622253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109378814697266 y=0.140178680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109378814697266 × 217)
    floor (0.109378814697266 × 131072)
    floor (14336.5)     		tx = 14336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140178680419922 × 217)
    floor (0.140178680419922 × 131072)
    floor (18373.5)     		ty = 18373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14336 / 18373 ti = "17/14336/18373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14336/18373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14336 ÷ 217
    14336 ÷ 131072     		x = 0.109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18373 ÷ 217
    18373 ÷ 131072     		y = 0.140174865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109375 × 2 - 1) × π
    -0.78125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45436926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140174865722656 × 2 - 1) × π
    0.719650268554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.26084799678071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45436926} λ = -2.45436926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26084799678071))-π/2
    2×atan(9.59121904209391)-π/2
    2×1.46690964423121-π/2
    2.93381928846242-1.57079632675     		φ = 1.36302296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45436926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36302296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.095463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14336 KachelY 18373 -2.45436926 1.36302296 -140.625000 78.095463
    Oben rechts KachelX + 1 14337 KachelY 18373 -2.45432132 1.36302296 -140.622253 78.095463
    Unten links KachelX 14336 KachelY + 1 18374 -2.45436926 1.36301307 -140.625000 78.094896
    Unten rechts KachelX + 1 14337 KachelY + 1 18374 -2.45432132 1.36301307 -140.622253 78.094896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36302296-1.36301307) × R
    9.88999999984586e-06 × 6371000     		dl = 63.0091899990179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36302296-1.36301307) × R
    9.88999999984586e-06 × 6371000     		dr = 63.0091899990179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45436926--2.45432132) × cos(1.36302296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206281668774259 × 6371000     		do = 63.0037313337718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45436926--2.45432132) × cos(1.36301307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206291346056515 × 6371000     		du = 63.0066870248657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36302296)-sin(1.36301307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206281668774259-0.206291346056515)×R²
    abs(-2.45432132--2.45436926)×9.67728225526043e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.67728225526043e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.67728225526043e-06×40589641000000     		ar = 3969.90719612496m²