Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14335 / 2280
↖ ↑ ↗
← N 78.170582°
E134.978027°		 ← 500.87 m → N 78.170582°
E135.000000°		 →
↑
500.95 m
↓
↑
500.95 m
↓
N 78.166077°
E134.978027°		 ← 501.06 m →
250 958 m²		 N 78.166077°
E135.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874969482421875 y=0.139190673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874969482421875 × 214)
    floor (0.874969482421875 × 16384)
    floor (14335.5)     		tx = 14335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139190673828125 × 214)
    floor (0.139190673828125 × 16384)
    floor (2280.5)     		ty = 2280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14335 / 2280 ti = "14/14335/2280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14335/2280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14335 ÷ 214
    14335 ÷ 16384     		x = 0.87493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2280 ÷ 214
    2280 ÷ 16384     		y = 0.13916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87493896484375 × 2 - 1) × π
    0.7498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35581099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13916015625 × 2 - 1) × π
    0.7216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26722360443018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35581099} λ = 2.35581099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26722360443018))-π/2
    2×atan(9.65256424024529)-π/2
    2×1.46756518262067-π/2
    2.93513036524134-1.57079632675     		φ = 1.36433404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35581099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36433404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.170582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14335 KachelY 2280 2.35581099 1.36433404 134.978027 78.170582
    Oben rechts KachelX + 1 14336 KachelY 2280 2.35619449 1.36433404 135.000000 78.170582
    Unten links KachelX 14335 KachelY + 1 2281 2.35581099 1.36425541 134.978027 78.166077
    Unten rechts KachelX + 1 14336 KachelY + 1 2281 2.35619449 1.36425541 135.000000 78.166077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36433404-1.36425541) × R
    7.86299999999684e-05 × 6371000     		dl = 500.951729999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36433404-1.36425541) × R
    7.86299999999684e-05 × 6371000     		dr = 500.951729999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35581099-2.35619449) × cos(1.36433404) × R
    0.00038349999999987 × 0.204998609701595 × 6371000     		do = 500.868695613628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35581099-2.35619449) × cos(1.36425541) × R
    0.00038349999999987 × 0.205075569144637 × 6371000     		du = 501.056728966186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36433404)-sin(1.36425541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204998609701595-0.205075569144637)×R²
    abs(2.35619449-2.35581099)×7.69594430425902e-05×R²
    0.00038349999999987×7.69594430425902e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.69594430425902e-05×40589641000000     		ar = 250958.1375157m²