Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14333 / 21273
↖ ↑ ↗
← S 47.227029°
W 22.532959°		 ← 829.57 m → S 47.227029°
W 22.521973°		 →
↑
829.50 m
↓
↑
829.50 m
↓
S 47.234489°
W 22.532959°		 ← 829.45 m →
688 080 m²		 S 47.234489°
W 22.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437423706054688 y=0.649215698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437423706054688 × 215)
    floor (0.437423706054688 × 32768)
    floor (14333.5)     		tx = 14333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649215698242188 × 215)
    floor (0.649215698242188 × 32768)
    floor (21273.5)     		ty = 21273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14333 / 21273 ti = "15/14333/21273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14333/21273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14333 ÷ 215
    14333 ÷ 32768     		x = 0.437408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21273 ÷ 215
    21273 ÷ 32768     		y = 0.649200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.12518310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39327432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.29840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.937454008969818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39327432} λ = -0.39327432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937454008969818))-π/2
    2×atan(0.391623637437158)-π/2
    2×0.37326458393335-π/2
    0.7465291678667-1.57079632675     		φ = -0.82426716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39327432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.532959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82426716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.227029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14333 KachelY 21273 -0.39327432 -0.82426716 -22.532959 -47.227029
    Oben rechts KachelX + 1 14334 KachelY 21273 -0.39308258 -0.82426716 -22.521973 -47.227029
    Unten links KachelX 14333 KachelY + 1 21274 -0.39327432 -0.82439736 -22.532959 -47.234489
    Unten rechts KachelX + 1 14334 KachelY + 1 21274 -0.39308258 -0.82439736 -22.521973 -47.234489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82426716--0.82439736) × R
    0.000130199999999969 × 6371000     		dl = 829.504199999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82426716--0.82439736) × R
    0.000130199999999969 × 6371000     		dr = 829.504199999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39327432--0.39308258) × cos(-0.82426716) × R
    0.000191739999999996 × 0.679095089361382 × 6371000     		do = 829.56595049796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39327432--0.39308258) × cos(-0.82439736) × R
    0.000191739999999996 × 0.67899951025509 × 6371000     		du = 829.449193399579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82426716)-sin(-0.82439736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679095089361382-0.67899951025509)×R²
    abs(-0.39308258--0.39327432)×9.55791062923206e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55791062923206e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55791062923206e-05×40589641000000     		ar = 688080.015835176m²