Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14332 / 10613
↖ ↑ ↗
← N 53.402982°
W 22.543945°		 ← 728.32 m → N 53.402982°
W 22.532959°		 →
↑
728.33 m
↓
↑
728.33 m
↓
N 53.396432°
W 22.543945°		 ← 728.43 m →
530 501 m²		 N 53.396432°
W 22.532959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437393188476562 y=0.323898315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437393188476562 × 215)
    floor (0.437393188476562 × 32768)
    floor (14332.5)     		tx = 14332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323898315429688 × 215)
    floor (0.323898315429688 × 32768)
    floor (10613.5)     		ty = 10613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14332 / 10613 ti = "15/14332/10613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14332/10613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14332 ÷ 215
    14332 ÷ 32768     		x = 0.4373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10613 ÷ 215
    10613 ÷ 32768     		y = 0.323883056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323883056640625 × 2 - 1) × π
    0.35223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10657539082938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39346607} λ = -0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10657539082938))-π/2
    2×atan(3.02398467595539)-π/2
    2×1.25142710084278-π/2
    2.50285420168556-1.57079632675     		φ = 0.93205787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93205787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.402982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14332 KachelY 10613 -0.39346607 0.93205787 -22.543945 53.402982
    Oben rechts KachelX + 1 14333 KachelY 10613 -0.39327432 0.93205787 -22.532959 53.402982
    Unten links KachelX 14332 KachelY + 1 10614 -0.39346607 0.93194355 -22.543945 53.396432
    Unten rechts KachelX + 1 14333 KachelY + 1 10614 -0.39327432 0.93194355 -22.532959 53.396432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93205787-0.93194355) × R
    0.000114320000000001 × 6371000     		dl = 728.332720000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93205787-0.93194355) × R
    0.000114320000000001 × 6371000     		dr = 728.332720000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39346607--0.39327432) × cos(0.93205787) × R
    0.000191749999999991 × 0.596183087961991 × 6371000     		do = 728.320660440535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39346607--0.39327432) × cos(0.93194355) × R
    0.000191749999999991 × 0.596274865707365 × 6371000     		du = 728.432779736561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93205787)-sin(0.93194355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596183087961991-0.596274865707365)×R²
    abs(-0.39327432--0.39346607)×9.17777453743884e-05×R²
    0.000191749999999991×9.17777453743884e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.17777453743884e-05×40589641000000     		ar = 530500.59830408m²