Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14332 / 10604
↖ ↑ ↗
← N 53.461890°
W 22.543945°		 ← 727.31 m → N 53.461890°
W 22.532959°		 →
↑
727.31 m
↓
↑
727.31 m
↓
N 53.455349°
W 22.543945°		 ← 727.42 m →
529 024 m²		 N 53.455349°
W 22.532959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437393188476562 y=0.323623657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437393188476562 × 215)
    floor (0.437393188476562 × 32768)
    floor (14332.5)     		tx = 14332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323623657226562 × 215)
    floor (0.323623657226562 × 32768)
    floor (10604.5)     		ty = 10604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14332 / 10604 ti = "15/14332/10604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14332/10604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14332 ÷ 215
    14332 ÷ 32768     		x = 0.4373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10604 ÷ 215
    10604 ÷ 32768     		y = 0.3236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3236083984375 × 2 - 1) × π
    0.352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1083011192157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39346607} λ = -0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1083011192157))-π/2
    2×atan(3.02920775766441)-π/2
    2×1.25194116958494-π/2
    2.50388233916989-1.57079632675     		φ = 0.93308601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93308601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.461890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14332 KachelY 10604 -0.39346607 0.93308601 -22.543945 53.461890
    Oben rechts KachelX + 1 14333 KachelY 10604 -0.39327432 0.93308601 -22.532959 53.461890
    Unten links KachelX 14332 KachelY + 1 10605 -0.39346607 0.93297185 -22.543945 53.455349
    Unten rechts KachelX + 1 14333 KachelY + 1 10605 -0.39327432 0.93297185 -22.532959 53.455349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93308601-0.93297185) × R
    0.000114159999999974 × 6371000     		dl = 727.313359999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93308601-0.93297185) × R
    0.000114159999999974 × 6371000     		dr = 727.313359999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39346607--0.39327432) × cos(0.93308601) × R
    0.000191749999999991 × 0.595357332338995 × 6371000     		do = 727.311884960574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39346607--0.39327432) × cos(0.93297185) × R
    0.000191749999999991 × 0.59544905157191 × 6371000     		du = 727.423932775483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93308601)-sin(0.93297185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595357332338995-0.59544905157191)×R²
    abs(-0.39327432--0.39346607)×9.17192329147332e-05×R²
    0.000191749999999991×9.17192329147332e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.17192329147332e-05×40589641000000     		ar = 529024.398329625m²