Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14331 / 18551
↖ ↑ ↗
← N 77.994192°
W140.638733°		 ← 63.53 m → N 77.994192°
W140.635986°		 →
↑
63.52 m
↓
↑
63.52 m
↓
N 77.993620°
W140.638733°		 ← 63.53 m →
4 036 m²		 N 77.993620°
W140.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109340667724609 y=0.141536712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109340667724609 × 217)
    floor (0.109340667724609 × 131072)
    floor (14331.5)     		tx = 14331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141536712646484 × 217)
    floor (0.141536712646484 × 131072)
    floor (18551.5)     		ty = 18551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14331 / 18551 ti = "17/14331/18551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14331/18551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14331 ÷ 217
    14331 ÷ 131072     		x = 0.109336853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18551 ÷ 217
    18551 ÷ 131072     		y = 0.141532897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109336853027344 × 2 - 1) × π
    -0.781326293945312 × 3.1415926535     		Λ = -2.45460895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141532897949219 × 2 - 1) × π
    0.716934204101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.25231522864834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45460895} λ = -2.45460895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25231522864834))-π/2
    2×atan(9.50972756228819)-π/2
    2×1.46602588363507-π/2
    2.93205176727014-1.57079632675     		φ = 1.36125544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45460895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.638733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36125544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.994192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14331 KachelY 18551 -2.45460895 1.36125544 -140.638733 77.994192
    Oben rechts KachelX + 1 14332 KachelY 18551 -2.45456101 1.36125544 -140.635986 77.994192
    Unten links KachelX 14331 KachelY + 1 18552 -2.45460895 1.36124547 -140.638733 77.993620
    Unten rechts KachelX + 1 14332 KachelY + 1 18552 -2.45456101 1.36124547 -140.635986 77.993620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36125544-1.36124547) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dl = 63.5188700001643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36125544-1.36124547) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dr = 63.5188700001643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45460895--2.45456101) × cos(1.36125544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208010850983822 × 6371000     		do = 63.5318680897219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45460895--2.45456101) × cos(1.36124547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208020602894872 × 6371000     		du = 63.5348465743706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36125544)-sin(1.36124547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208010850983822-0.208020602894872)×R²
    abs(-2.45456101--2.45460895)×9.75191104943263e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.75191104943263e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.75191104943263e-06×40589641000000     		ar = 4035.56706512312m²