Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14329 / 14391
↖ ↑ ↗
← N 70.512073°
W101.288452°		 ← 203.76 m → N 70.512073°
W101.282959°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
N 70.510241°
W101.288452°		 ← 203.78 m →
41 518 m²		 N 70.510241°
W101.282959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218650817871094 y=0.219596862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218650817871094 × 216)
    floor (0.218650817871094 × 65536)
    floor (14329.5)     		tx = 14329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219596862792969 × 216)
    floor (0.219596862792969 × 65536)
    floor (14391.5)     		ty = 14391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14329 / 14391 ti = "16/14329/14391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14329/14391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14329 ÷ 216
    14329 ÷ 65536     		x = 0.218643188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14391 ÷ 216
    14391 ÷ 65536     		y = 0.219589233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218643188476562 × 2 - 1) × π
    -0.562713623046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76781698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219589233398438 × 2 - 1) × π
    0.560821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76187280863554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76781698} λ = -1.76781698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76187280863554))-π/2
    2×atan(5.82333317702161)-π/2
    2×1.40073208442018-π/2
    2.80146416884035-1.57079632675     		φ = 1.23066784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76781698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.288452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23066784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.512073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14329 KachelY 14391 -1.76781698 1.23066784 -101.288452 70.512073
    Oben rechts KachelX + 1 14330 KachelY 14391 -1.76772111 1.23066784 -101.282959 70.512073
    Unten links KachelX 14329 KachelY + 1 14392 -1.76781698 1.23063586 -101.288452 70.510241
    Unten rechts KachelX + 1 14330 KachelY + 1 14392 -1.76772111 1.23063586 -101.282959 70.510241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23066784-1.23063586) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dl = 203.744579999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23066784-1.23063586) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dr = 203.744579999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76781698--1.76772111) × cos(1.23066784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333608220913083 × 6371000     		do = 203.763821305165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76781698--1.76772111) × cos(1.23063586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333638368666138 × 6371000     		du = 203.782235184024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23066784)-sin(1.23063586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333608220913083-0.333638368666138)×R²
    abs(-1.76772111--1.76781698)×3.01477530545435e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01477530545435e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01477530545435e-05×40589641000000     		ar = 41517.6500583328m²