Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14328 / 7480
↖ ↑ ↗
← N 69.442128°
W 22.587890°		 ← 428.98 m → N 69.442128°
W 22.576904°		 →
↑
429.02 m
↓
↑
429.02 m
↓
N 69.438270°
W 22.587890°		 ← 429.06 m →
184 060 m²		 N 69.438270°
W 22.576904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437271118164062 y=0.228286743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437271118164062 × 215)
    floor (0.437271118164062 × 32768)
    floor (14328.5)     		tx = 14328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228286743164062 × 215)
    floor (0.228286743164062 × 32768)
    floor (7480.5)     		ty = 7480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14328 / 7480 ti = "15/14328/7480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14328/7480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14328 ÷ 215
    14328 ÷ 32768     		x = 0.437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7480 ÷ 215
    7480 ÷ 32768     		y = 0.228271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228271484375 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70732061686792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39423306} λ = -0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70732061686792))-π/2
    2×atan(5.51416710025637)-π/2
    2×1.39139504661099-π/2
    2.78279009322197-1.57079632675     		φ = 1.21199377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21199377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.442128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14328 KachelY 7480 -0.39423306 1.21199377 -22.587890 69.442128
    Oben rechts KachelX + 1 14329 KachelY 7480 -0.39404131 1.21199377 -22.576904 69.442128
    Unten links KachelX 14328 KachelY + 1 7481 -0.39423306 1.21192643 -22.587890 69.438270
    Unten rechts KachelX + 1 14329 KachelY + 1 7481 -0.39404131 1.21192643 -22.576904 69.438270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21199377-1.21192643) × R
    6.73399999999713e-05 × 6371000     		dl = 429.023139999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21199377-1.21192643) × R
    6.73399999999713e-05 × 6371000     		dr = 429.023139999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39423306--0.39404131) × cos(1.21199377) × R
    0.000191750000000046 × 0.35115329769298 × 6371000     		do = 428.982651228782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39423306--0.39404131) × cos(1.21192643) × R
    0.000191750000000046 × 0.351216348549589 × 6371000     		du = 429.059676629962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21199377)-sin(1.21192643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35115329769298-0.351216348549589)×R²
    abs(-0.39404131--0.39423306)×6.30508566087928e-05×R²
    0.000191750000000046×6.30508566087928e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.30508566087928e-05×40589641000000     		ar = 184060.006944963m²