Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14328 / 2289
↖ ↑ ↗
← N 78.129975°
E134.824219°		 ← 502.55 m → N 78.129975°
E134.846191°		 →
↑
502.67 m
↓
↑
502.67 m
↓
N 78.125454°
E134.824219°		 ← 502.74 m →
252 665 m²		 N 78.125454°
E134.846191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874542236328125 y=0.139739990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874542236328125 × 214)
    floor (0.874542236328125 × 16384)
    floor (14328.5)     		tx = 14328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139739990234375 × 214)
    floor (0.139739990234375 × 16384)
    floor (2289.5)     		ty = 2289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14328 / 2289 ti = "14/14328/2289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14328/2289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14328 ÷ 214
    14328 ÷ 16384     		x = 0.87451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2289 ÷ 214
    2289 ÷ 16384     		y = 0.13970947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87451171875 × 2 - 1) × π
    0.7490234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35312653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13970947265625 × 2 - 1) × π
    0.7205810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26377214765753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35312653} λ = 2.35312653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26377214765753))-π/2
    2×atan(9.61930625928236)-π/2
    2×1.46721081250602-π/2
    2.93442162501205-1.57079632675     		φ = 1.36362530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35312653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36362530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.129975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14328 KachelY 2289 2.35312653 1.36362530 134.824219 78.129975
    Oben rechts KachelX + 1 14329 KachelY 2289 2.35351002 1.36362530 134.846191 78.129975
    Unten links KachelX 14328 KachelY + 1 2290 2.35312653 1.36354640 134.824219 78.125454
    Unten rechts KachelX + 1 14329 KachelY + 1 2290 2.35351002 1.36354640 134.846191 78.125454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36362530-1.36354640) × R
    7.89000000001039e-05 × 6371000     		dl = 502.671900000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36362530-1.36354640) × R
    7.89000000001039e-05 × 6371000     		dr = 502.671900000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35312653-2.35351002) × cos(1.36362530) × R
    0.000383489999999931 × 0.205692246124052 × 6371000     		do = 502.550337918514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35312653-2.35351002) × cos(1.36354640) × R
    0.000383489999999931 × 0.205769458343555 × 6371000     		du = 502.738983955173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36362530)-sin(1.36354640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205692246124052-0.205769458343555)×R²
    abs(2.35351002-2.35312653)×7.72122195028535e-05×R²
    0.000383489999999931×7.72122195028535e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.72122195028535e-05×40589641000000     		ar = 252665.34686829m²