Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14328 / 18583
↖ ↑ ↗
← N 77.975896°
W140.646973°		 ← 63.63 m → N 77.975896°
W140.644226°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.975323°
W140.646973°		 ← 63.63 m →
4 050 m²		 N 77.975323°
W140.644226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109317779541016 y=0.141780853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109317779541016 × 217)
    floor (0.109317779541016 × 131072)
    floor (14328.5)     		tx = 14328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141780853271484 × 217)
    floor (0.141780853271484 × 131072)
    floor (18583.5)     		ty = 18583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14328 / 18583 ti = "17/14328/18583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14328/18583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14328 ÷ 217
    14328 ÷ 131072     		x = 0.10931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18583 ÷ 217
    18583 ÷ 131072     		y = 0.141777038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.7813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45475276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141777038574219 × 2 - 1) × π
    0.716445922851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.2507812478605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45475276} λ = -2.45475276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2507812478605))-π/2
    2×atan(9.49515100584713)-π/2
    2×1.46586622156289-π/2
    2.93173244312578-1.57079632675     		φ = 1.36093612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45475276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36093612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.975896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14328 KachelY 18583 -2.45475276 1.36093612 -140.646973 77.975896
    Oben rechts KachelX + 1 14329 KachelY 18583 -2.45470482 1.36093612 -140.644226 77.975896
    Unten links KachelX 14328 KachelY + 1 18584 -2.45475276 1.36092613 -140.646973 77.975323
    Unten rechts KachelX + 1 14329 KachelY + 1 18584 -2.45470482 1.36092613 -140.644226 77.975323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36093612-1.36092613) × R
    9.99000000012629e-06 × 6371000     		dl = 63.6462900008046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36093612-1.36092613) × R
    9.99000000012629e-06 × 6371000     		dr = 63.6462900008046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45475276--2.45470482) × cos(1.36093612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208323175733409 × 6371000     		do = 63.6272601074848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45475276--2.45470482) × cos(1.36092613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208332946542878 × 6371000     		du = 63.6302443641971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36093612)-sin(1.36092613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208323175733409-0.208332946542878)×R²
    abs(-2.45470482--2.45475276)×9.7708094686233e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7708094686233e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7708094686233e-06×40589641000000     		ar = 4049.73401720941m²