Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14328 / 18581
↖ ↑ ↗
← N 77.977040°
W140.646973°		 ← 63.62 m → N 77.977040°
W140.644226°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.976468°
W140.646973°		 ← 63.62 m →
4 049 m²		 N 77.976468°
W140.644226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109317779541016 y=0.141765594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109317779541016 × 217)
    floor (0.109317779541016 × 131072)
    floor (14328.5)     		tx = 14328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141765594482422 × 217)
    floor (0.141765594482422 × 131072)
    floor (18581.5)     		ty = 18581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14328 / 18581 ti = "17/14328/18581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14328/18581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14328 ÷ 217
    14328 ÷ 131072     		x = 0.10931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18581 ÷ 217
    18581 ÷ 131072     		y = 0.141761779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.7813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45475276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141761779785156 × 2 - 1) × π
    0.716476440429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.25087712165974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45475276} λ = -2.45475276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25087712165974))-π/2
    2×atan(9.49606138568851)-π/2
    2×1.46587620746203-π/2
    2.93175241492405-1.57079632675     		φ = 1.36095609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45475276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36095609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.977040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14328 KachelY 18581 -2.45475276 1.36095609 -140.646973 77.977040
    Oben rechts KachelX + 1 14329 KachelY 18581 -2.45470482 1.36095609 -140.644226 77.977040
    Unten links KachelX 14328 KachelY + 1 18582 -2.45475276 1.36094610 -140.646973 77.976468
    Unten rechts KachelX + 1 14329 KachelY + 1 18582 -2.45470482 1.36094610 -140.644226 77.976468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36095609-1.36094610) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dl = 63.6462899993899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36095609-1.36094610) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dr = 63.6462899993899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45475276--2.45470482) × cos(1.36095609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208303643832743 × 6371000     		do = 63.6212945622703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45475276--2.45470482) × cos(1.36094610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208313414683771 × 6371000     		du = 63.6242788316759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36095609)-sin(1.36094610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208303643832743-0.208313414683771)×R²
    abs(-2.45470482--2.45475276)×9.77085102793485e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.77085102793485e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.77085102793485e-06×40589641000000     		ar = 4049.35433259045m²