Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14328 / 14334
↖ ↑ ↗
← N 70.616261°
W101.293945°		 ← 202.74 m → N 70.616261°
W101.288452°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
N 70.614438°
W101.293945°		 ← 202.76 m →
41 102 m²		 N 70.614438°
W101.288452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218635559082031 y=0.218727111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218635559082031 × 216)
    floor (0.218635559082031 × 65536)
    floor (14328.5)     		tx = 14328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218727111816406 × 216)
    floor (0.218727111816406 × 65536)
    floor (14334.5)     		ty = 14334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14328 / 14334 ti = "16/14328/14334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14328/14334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14328 ÷ 216
    14328 ÷ 65536     		x = 0.2186279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14334 ÷ 216
    14334 ÷ 65536     		y = 0.218719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2186279296875 × 2 - 1) × π
    -0.562744140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76791286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218719482421875 × 2 - 1) × π
    0.56256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76733761519223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76791286} λ = -1.76791286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76733761519223))-π/2
    2×atan(5.85524367929533)-π/2
    2×1.40164129209778-π/2
    2.80328258419557-1.57079632675     		φ = 1.23248626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76791286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23248626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.616261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14328 KachelY 14334 -1.76791286 1.23248626 -101.293945 70.616261
    Oben rechts KachelX + 1 14329 KachelY 14334 -1.76781698 1.23248626 -101.288452 70.616261
    Unten links KachelX 14328 KachelY + 1 14335 -1.76791286 1.23245444 -101.293945 70.614438
    Unten rechts KachelX + 1 14329 KachelY + 1 14335 -1.76781698 1.23245444 -101.288452 70.614438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23248626-1.23245444) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dl = 202.7252200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23248626-1.23245444) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dr = 202.7252200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76791286--1.76781698) × cos(1.23248626) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331893424287114 × 6371000     		do = 202.737589427918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76791286--1.76781698) × cos(1.23245444) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331923440462525 × 6371000     		du = 202.755924853092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23248626)-sin(1.23245444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331893424287114-0.331923440462525)×R²
    abs(-1.76781698--1.76791286)×3.00161754108741e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.00161754108741e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.00161754108741e-05×40589641000000     		ar = 41101.8809490227m²