Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14327 / 2265
↖ ↑ ↗
← N 78.237958°
E134.802246°		 ← 498.06 m → N 78.237958°
E134.824219°		 →
↑
498.08 m
↓
↑
498.08 m
↓
N 78.233478°
E134.802246°		 ← 498.24 m →
248 121 m²		 N 78.233478°
E134.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874481201171875 y=0.138275146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874481201171875 × 214)
    floor (0.874481201171875 × 16384)
    floor (14327.5)     		tx = 14327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138275146484375 × 214)
    floor (0.138275146484375 × 16384)
    floor (2265.5)     		ty = 2265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14327 / 2265 ti = "14/14327/2265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14327/2265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14327 ÷ 214
    14327 ÷ 16384     		x = 0.87445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2265 ÷ 214
    2265 ÷ 16384     		y = 0.13824462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87445068359375 × 2 - 1) × π
    0.7489013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35274303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13824462890625 × 2 - 1) × π
    0.7235107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27297603238458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35274303} λ = 2.35274303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27297603238458))-π/2
    2×atan(9.70824993101953)-π/2
    2×1.46815314561023-π/2
    2.93630629122045-1.57079632675     		φ = 1.36550996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35274303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36550996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.237958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14327 KachelY 2265 2.35274303 1.36550996 134.802246 78.237958
    Oben rechts KachelX + 1 14328 KachelY 2265 2.35312653 1.36550996 134.824219 78.237958
    Unten links KachelX 14327 KachelY + 1 2266 2.35274303 1.36543178 134.802246 78.233478
    Unten rechts KachelX + 1 14328 KachelY + 1 2266 2.35312653 1.36543178 134.824219 78.233478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36550996-1.36543178) × R
    7.81800000000388e-05 × 6371000     		dl = 498.084780000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36550996-1.36543178) × R
    7.81800000000388e-05 × 6371000     		dr = 498.084780000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35274303-2.35312653) × cos(1.36550996) × R
    0.00038349999999987 × 0.203847522110233 × 6371000     		do = 498.056268050038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35274303-2.35312653) × cos(1.36543178) × R
    0.00038349999999987 × 0.203924059914323 × 6371000     		du = 498.24327122121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36550996)-sin(1.36543178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203847522110233-0.203924059914323)×R²
    abs(2.35312653-2.35274303)×7.65378040905595e-05×R²
    0.00038349999999987×7.65378040905595e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.65378040905595e-05×40589641000000     		ar = 248120.818542161m²