Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14327 / 18377
↖ ↑ ↗
← N 78.093196°
W140.649719°		 ← 63 m → N 78.093196°
W140.646973°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.092630°
W140.649719°		 ← 63.01 m →
3 970 m²		 N 78.092630°
W140.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109310150146484 y=0.140209197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109310150146484 × 217)
    floor (0.109310150146484 × 131072)
    floor (14327.5)     		tx = 14327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140209197998047 × 217)
    floor (0.140209197998047 × 131072)
    floor (18377.5)     		ty = 18377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14327 / 18377 ti = "17/14327/18377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14327/18377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14327 ÷ 217
    14327 ÷ 131072     		x = 0.109306335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18377 ÷ 217
    18377 ÷ 131072     		y = 0.140205383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109306335449219 × 2 - 1) × π
    -0.781387329101562 × 3.1415926535     		Λ = -2.45480069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140205383300781 × 2 - 1) × π
    0.719589233398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.26065624918223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45480069} λ = -2.45480069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26065624918223))-π/2
    2×atan(9.58938012518567)-π/2
    2×1.46688986536864-π/2
    2.93377973073728-1.57079632675     		φ = 1.36298340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45480069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.649719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36298340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.093196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14327 KachelY 18377 -2.45480069 1.36298340 -140.649719 78.093196
    Oben rechts KachelX + 1 14328 KachelY 18377 -2.45475276 1.36298340 -140.646973 78.093196
    Unten links KachelX 14327 KachelY + 1 18378 -2.45480069 1.36297351 -140.649719 78.092630
    Unten rechts KachelX + 1 14328 KachelY + 1 18378 -2.45475276 1.36297351 -140.646973 78.092630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36298340-1.36297351) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dl = 63.0091900004326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36298340-1.36297351) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dr = 63.0091900004326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45480069--2.45475276) × cos(1.36298340) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20632037778221 × 6371000     		do = 63.0024093899812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45480069--2.45475276) × cos(1.36297351) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206330054983749 × 6371000     		du = 63.0053644398878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36298340)-sin(1.36297351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20632037778221-0.206330054983749)×R²
    abs(-2.45475276--2.45480069)×9.67720153863261e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.67720153863261e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.67720153863261e-06×40589641000000     		ar = 3969.82388146655m²