Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14327 / 11319
↖ ↑ ↗
← N 48.523881°
W 22.598877°		 ← 809.10 m → N 48.523881°
W 22.587890°		 →
↑
809.12 m
↓
↑
809.12 m
↓
N 48.516604°
W 22.598877°		 ← 809.22 m →
654 705 m²		 N 48.516604°
W 22.587890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437240600585938 y=0.345443725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437240600585938 × 215)
    floor (0.437240600585938 × 32768)
    floor (14327.5)     		tx = 14327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345443725585938 × 215)
    floor (0.345443725585938 × 32768)
    floor (11319.5)     		ty = 11319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14327 / 11319 ti = "15/14327/11319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14327/11319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14327 ÷ 215
    14327 ÷ 32768     		x = 0.437225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11319 ÷ 215
    11319 ÷ 32768     		y = 0.345428466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.12554931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39442481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345428466796875 × 2 - 1) × π
    0.30914306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.971201586302338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39442481} λ = -0.39442481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971201586302338))-π/2
    2×atan(2.64111608239064)-π/2
    2×1.20884890980418-π/2
    2.41769781960835-1.57079632675     		φ = 0.84690149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39442481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.598877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84690149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.523881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14327 KachelY 11319 -0.39442481 0.84690149 -22.598877 48.523881
    Oben rechts KachelX + 1 14328 KachelY 11319 -0.39423306 0.84690149 -22.587890 48.523881
    Unten links KachelX 14327 KachelY + 1 11320 -0.39442481 0.84677449 -22.598877 48.516604
    Unten rechts KachelX + 1 14328 KachelY + 1 11320 -0.39423306 0.84677449 -22.587890 48.516604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84690149-0.84677449) × R
    0.000126999999999988 × 6371000     		dl = 809.116999999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84690149-0.84677449) × R
    0.000126999999999988 × 6371000     		dr = 809.116999999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39442481--0.39423306) × cos(0.84690149) × R
    0.000191749999999991 × 0.662307823839507 × 6371000     		do = 809.101233184388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39442481--0.39423306) × cos(0.84677449) × R
    0.000191749999999991 × 0.662402970941446 × 6371000     		du = 809.21746861864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84690149)-sin(0.84677449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662307823839507-0.662402970941446)×R²
    abs(-0.39423306--0.39442481)×9.51471019385863e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51471019385863e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51471019385863e-05×40589641000000     		ar = 654704.587402902m²