Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14326 / 18546
↖ ↑ ↗
← N 77.997048°
W140.652466°		 ← 63.52 m → N 77.997048°
W140.649719°		 →
↑
63.52 m
↓
↑
63.52 m
↓
N 77.996477°
W140.652466°		 ← 63.52 m →
4 035 m²		 N 77.996477°
W140.649719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109302520751953 y=0.141498565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109302520751953 × 217)
    floor (0.109302520751953 × 131072)
    floor (14326.5)     		tx = 14326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141498565673828 × 217)
    floor (0.141498565673828 × 131072)
    floor (18546.5)     		ty = 18546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14326 / 18546 ti = "17/14326/18546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14326/18546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14326 ÷ 217
    14326 ÷ 131072     		x = 0.109298706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18546 ÷ 217
    18546 ÷ 131072     		y = 0.141494750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109298706054688 × 2 - 1) × π
    -0.781402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45484863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141494750976562 × 2 - 1) × π
    0.717010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25255491314644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45484863} λ = -2.45484863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25255491314644))-π/2
    2×atan(9.5120071697484)-π/2
    2×1.4660508092013-π/2
    2.9321016184026-1.57079632675     		φ = 1.36130529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45484863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.652466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36130529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.997048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14326 KachelY 18546 -2.45484863 1.36130529 -140.652466 77.997048
    Oben rechts KachelX + 1 14327 KachelY 18546 -2.45480069 1.36130529 -140.649719 77.997048
    Unten links KachelX 14326 KachelY + 1 18547 -2.45484863 1.36129532 -140.652466 77.996477
    Unten rechts KachelX + 1 14327 KachelY + 1 18547 -2.45480069 1.36129532 -140.649719 77.996477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36130529-1.36129532) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dl = 63.5188700001643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36130529-1.36129532) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dr = 63.5188700001643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45484863--2.45480069) × cos(1.36130529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207962091118448 × 6371000     		do = 63.5169755717576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45484863--2.45480069) × cos(1.36129532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20797184313287 × 6371000     		du = 63.519954087979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36130529)-sin(1.36129532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207962091118448-0.20797184313287)×R²
    abs(-2.45480069--2.45484863)×9.7520144220764e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7520144220764e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7520144220764e-06×40589641000000     		ar = 4034.62110997446m²