Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14325 / 2268
↖ ↑ ↗
← N 78.224513°
E134.758301°		 ← 498.62 m → N 78.224513°
E134.780274°		 →
↑
498.72 m
↓
↑
498.72 m
↓
N 78.220028°
E134.758301°		 ← 498.80 m →
248 718 m²		 N 78.220028°
E134.780274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874359130859375 y=0.138458251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874359130859375 × 214)
    floor (0.874359130859375 × 16384)
    floor (14325.5)     		tx = 14325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138458251953125 × 214)
    floor (0.138458251953125 × 16384)
    floor (2268.5)     		ty = 2268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14325 / 2268 ti = "14/14325/2268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14325/2268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14325 ÷ 214
    14325 ÷ 16384     		x = 0.87432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2268 ÷ 214
    2268 ÷ 16384     		y = 0.138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87432861328125 × 2 - 1) × π
    0.7486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35197604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138427734375 × 2 - 1) × π
    0.72314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2718255467937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35197604} λ = 2.35197604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2718255467937))-π/2
    2×atan(9.69708715190075)-π/2
    2×1.46803581773287-π/2
    2.93607163546575-1.57079632675     		φ = 1.36527531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35197604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36527531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.224513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14325 KachelY 2268 2.35197604 1.36527531 134.758301 78.224513
    Oben rechts KachelX + 1 14326 KachelY 2268 2.35235954 1.36527531 134.780274 78.224513
    Unten links KachelX 14325 KachelY + 1 2269 2.35197604 1.36519703 134.758301 78.220028
    Unten rechts KachelX + 1 14326 KachelY + 1 2269 2.35235954 1.36519703 134.780274 78.220028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36527531-1.36519703) × R
    7.82799999998751e-05 × 6371000     		dl = 498.721879999204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36527531-1.36519703) × R
    7.82799999998751e-05 × 6371000     		dr = 498.721879999204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35197604-2.35235954) × cos(1.36527531) × R
    0.000383500000000314 × 0.204077239467845 × 6371000     		do = 498.617531531545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35197604-2.35235954) × cos(1.36519703) × R
    0.000383500000000314 × 0.204153871423438 × 6371000     		du = 498.804764741059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36527531)-sin(1.36519703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204077239467845-0.204153871423438)×R²
    abs(2.35235954-2.35197604)×7.66319555934869e-05×R²
    0.000383500000000314×7.66319555934869e-05×6371000²
    0.000383500000000314×7.66319555934869e-05×40589641000000     		ar = 248718.161502362m²