Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14325 / 21333
↖ ↑ ↗
← S 47.672785°
W 22.620850°		 ← 822.61 m → S 47.672785°
W 22.609863°		 →
↑
822.56 m
↓
↑
822.56 m
↓
S 47.680183°
W 22.620850°		 ← 822.49 m →
676 596 m²		 S 47.680183°
W 22.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437179565429688 y=0.651046752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437179565429688 × 215)
    floor (0.437179565429688 × 32768)
    floor (14325.5)     		tx = 14325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651046752929688 × 215)
    floor (0.651046752929688 × 32768)
    floor (21333.5)     		ty = 21333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14325 / 21333 ti = "15/14325/21333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14325/21333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14325 ÷ 215
    14325 ÷ 32768     		x = 0.437164306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21333 ÷ 215
    21333 ÷ 32768     		y = 0.651031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437164306640625 × 2 - 1) × π
    -0.12567138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39480831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.30206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.948958864878632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39480831} λ = -0.39480831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948958864878632))-π/2
    2×atan(0.387143882796008)-π/2
    2×0.369374626586732-π/2
    0.738749253173464-1.57079632675     		φ = -0.83204707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39480831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.620850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83204707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.672785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14325 KachelY 21333 -0.39480831 -0.83204707 -22.620850 -47.672785
    Oben rechts KachelX + 1 14326 KachelY 21333 -0.39461656 -0.83204707 -22.609863 -47.672785
    Unten links KachelX 14325 KachelY + 1 21334 -0.39480831 -0.83217618 -22.620850 -47.680183
    Unten rechts KachelX + 1 14326 KachelY + 1 21334 -0.39461656 -0.83217618 -22.609863 -47.680183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83204707--0.83217618) × R
    0.000129110000000043 × 6371000     		dl = 822.559810000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83204707--0.83217618) × R
    0.000129110000000043 × 6371000     		dr = 822.559810000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39480831--0.39461656) × cos(-0.83204707) × R
    0.000191749999999991 × 0.673363749922981 × 6371000     		do = 822.607586433058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39480831--0.39461656) × cos(-0.83217618) × R
    0.000191749999999991 × 0.673268291823609 × 6371000     		du = 822.490971072134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83204707)-sin(-0.83217618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673363749922981-0.673268291823609)×R²
    abs(-0.39461656--0.39480831)×9.54580993721699e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54580993721699e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54580993721699e-05×40589641000000     		ar = 676595.979386242m²