Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14325 / 20239
↖ ↑ ↗
← S 38.950866°
W 22.620850°		 ← 950.05 m → S 38.950866°
W 22.609863°		 →
↑
949.98 m
↓
↑
949.98 m
↓
S 38.959409°
W 22.620850°		 ← 949.94 m →
902 475 m²		 S 38.959409°
W 22.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437179565429688 y=0.617660522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437179565429688 × 215)
    floor (0.437179565429688 × 32768)
    floor (14325.5)     		tx = 14325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617660522460938 × 215)
    floor (0.617660522460938 × 32768)
    floor (20239.5)     		ty = 20239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14325 / 20239 ti = "15/14325/20239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14325/20239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14325 ÷ 215
    14325 ÷ 32768     		x = 0.437164306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20239 ÷ 215
    20239 ÷ 32768     		y = 0.617645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437164306640625 × 2 - 1) × π
    -0.12567138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39480831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.23529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.739186992141266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39480831} λ = -0.39480831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739186992141266))-π/2
    2×atan(0.477501970608407)-π/2
    2×0.445487739532066-π/2
    0.890975479064132-1.57079632675     		φ = -0.67982085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39480831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.620850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67982085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.950866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14325 KachelY 20239 -0.39480831 -0.67982085 -22.620850 -38.950866
    Oben rechts KachelX + 1 14326 KachelY 20239 -0.39461656 -0.67982085 -22.609863 -38.950866
    Unten links KachelX 14325 KachelY + 1 20240 -0.39480831 -0.67996996 -22.620850 -38.959409
    Unten rechts KachelX + 1 14326 KachelY + 1 20240 -0.39461656 -0.67996996 -22.609863 -38.959409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67982085--0.67996996) × R
    0.000149109999999952 × 6371000     		dl = 949.979809999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67982085--0.67996996) × R
    0.000149109999999952 × 6371000     		dr = 949.979809999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39480831--0.39461656) × cos(-0.67982085) × R
    0.000191749999999991 × 0.777685354542588 × 6371000     		do = 950.050953259345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39480831--0.39461656) × cos(-0.67996996) × R
    0.000191749999999991 × 0.777591607342525 × 6371000     		du = 949.93642800017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67982085)-sin(-0.67996996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777685354542588-0.777591607342525)×R²
    abs(-0.39461656--0.39480831)×9.37472000628325e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37472000628325e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37472000628325e-05×40589641000000     		ar = 902474.827397146m²