Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14324 / 2270
↖ ↑ ↗
← N 78.215541°
E134.736328°		 ← 498.98 m → N 78.215541°
E134.758301°		 →
↑
499.04 m
↓
↑
499.04 m
↓
N 78.211053°
E134.736328°		 ← 499.17 m →
249 057 m²		 N 78.211053°
E134.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874298095703125 y=0.138580322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874298095703125 × 214)
    floor (0.874298095703125 × 16384)
    floor (14324.5)     		tx = 14324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138580322265625 × 214)
    floor (0.138580322265625 × 16384)
    floor (2270.5)     		ty = 2270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14324 / 2270 ti = "14/14324/2270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14324/2270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14324 ÷ 214
    14324 ÷ 16384     		x = 0.874267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2270 ÷ 214
    2270 ÷ 16384     		y = 0.1385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874267578125 × 2 - 1) × π
    0.74853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35159255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1385498046875 × 2 - 1) × π
    0.722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27105855639978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35159255} λ = 2.35159255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27105855639978))-π/2
    2×atan(9.68965243075056)-π/2
    2×1.46795752570248-π/2
    2.93591505140497-1.57079632675     		φ = 1.36511872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35159255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36511872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.215541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14324 KachelY 2270 2.35159255 1.36511872 134.736328 78.215541
    Oben rechts KachelX + 1 14325 KachelY 2270 2.35197604 1.36511872 134.758301 78.215541
    Unten links KachelX 14324 KachelY + 1 2271 2.35159255 1.36504039 134.736328 78.211053
    Unten rechts KachelX + 1 14325 KachelY + 1 2271 2.35197604 1.36504039 134.758301 78.211053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36511872-1.36504039) × R
    7.83299999997933e-05 × 6371000     		dl = 499.040429998683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36511872-1.36504039) × R
    7.83299999997933e-05 × 6371000     		dr = 499.040429998683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35159255-2.35197604) × cos(1.36511872) × R
    0.000383489999999931 × 0.204230531495711 × 6371000     		do = 498.979055119792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35159255-2.35197604) × cos(1.36504039) × R
    0.000383489999999931 × 0.204307209893685 × 6371000     		du = 499.166396915796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36511872)-sin(1.36504039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204230531495711-0.204307209893685)×R²
    abs(2.35197604-2.35159255)×7.66783979742613e-05×R²
    0.000383489999999931×7.66783979742613e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.66783979742613e-05×40589641000000     		ar = 249057.467919636m²