Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14324 / 18578
↖ ↑ ↗
← N 77.978756°
W140.657959°		 ← 63.60 m → N 77.978756°
W140.655213°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.978184°
W140.657959°		 ← 63.60 m →
4 044 m²		 N 77.978184°
W140.655213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109287261962891 y=0.141742706298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109287261962891 × 217)
    floor (0.109287261962891 × 131072)
    floor (14324.5)     		tx = 14324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141742706298828 × 217)
    floor (0.141742706298828 × 131072)
    floor (18578.5)     		ty = 18578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14324 / 18578 ti = "17/14324/18578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14324/18578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14324 ÷ 217
    14324 ÷ 131072     		x = 0.109283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18578 ÷ 217
    18578 ÷ 131072     		y = 0.141738891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.78143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45494450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141738891601562 × 2 - 1) × π
    0.716522216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2510209323586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45494450} λ = -2.45494450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2510209323586))-π/2
    2×atan(9.497427119114)-π/2
    2×1.46589118455512-π/2
    2.93178236911024-1.57079632675     		φ = 1.36098604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45494450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36098604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.978756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14324 KachelY 18578 -2.45494450 1.36098604 -140.657959 77.978756
    Oben rechts KachelX + 1 14325 KachelY 18578 -2.45489657 1.36098604 -140.655213 77.978756
    Unten links KachelX 14324 KachelY + 1 18579 -2.45494450 1.36097606 -140.657959 77.978184
    Unten rechts KachelX + 1 14325 KachelY + 1 18579 -2.45489657 1.36097606 -140.655213 77.978184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36098604-1.36097606) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dl = 63.5825799997771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36098604-1.36097606) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dr = 63.5825799997771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45494450--2.45489657) × cos(1.36098604) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208274350716339 × 6371000     		do = 63.5990785317123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45494450--2.45489657) × cos(1.36097606) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208284111849005 × 6371000     		du = 63.6020592109983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36098604)-sin(1.36097606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208274350716339-0.208284111849005)×R²
    abs(-2.45489657--2.45494450)×9.76113266601408e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.76113266601408e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.76113266601408e-06×40589641000000     		ar = 4043.88825827878m²