Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14324 / 11092
↖ ↑ ↗
← N 50.148746°
W 22.631836°		 ← 782.78 m → N 50.148746°
W 22.620850°		 →
↑
782.87 m
↓
↑
782.87 m
↓
N 50.141706°
W 22.631836°		 ← 782.90 m →
612 860 m²		 N 50.141706°
W 22.620850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437149047851562 y=0.338516235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437149047851562 × 215)
    floor (0.437149047851562 × 32768)
    floor (14324.5)     		tx = 14324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338516235351562 × 215)
    floor (0.338516235351562 × 32768)
    floor (11092.5)     		ty = 11092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14324 / 11092 ti = "15/14324/11092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14324/11092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14324 ÷ 215
    14324 ÷ 32768     		x = 0.4371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11092 ÷ 215
    11092 ÷ 32768     		y = 0.3385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39500005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3385009765625 × 2 - 1) × π
    0.322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01472829115735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39500005} λ = -0.39500005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01472829115735))-π/2
    2×atan(2.75861375578786)-π/2
    2×1.22302853360777-π/2
    2.44605706721553-1.57079632675     		φ = 0.87526074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39500005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.631836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87526074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.148746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14324 KachelY 11092 -0.39500005 0.87526074 -22.631836 50.148746
    Oben rechts KachelX + 1 14325 KachelY 11092 -0.39480831 0.87526074 -22.620850 50.148746
    Unten links KachelX 14324 KachelY + 1 11093 -0.39500005 0.87513786 -22.631836 50.141706
    Unten rechts KachelX + 1 14325 KachelY + 1 11093 -0.39480831 0.87513786 -22.620850 50.141706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87526074-0.87513786) × R
    0.000122879999999936 × 6371000     		dl = 782.868479999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87526074-0.87513786) × R
    0.000122879999999936 × 6371000     		dr = 782.868479999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39500005--0.39480831) × cos(0.87526074) × R
    0.000191739999999996 × 0.640796707083623 × 6371000     		do = 782.781583485881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39500005--0.39480831) × cos(0.87513786) × R
    0.000191739999999996 × 0.640891038525248 × 6371000     		du = 782.896816467623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87526074)-sin(0.87513786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640796707083623-0.640891038525248)×R²
    abs(-0.39480831--0.39500005)×9.43314416249619e-05×R²
    0.000191739999999996×9.43314416249619e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.43314416249619e-05×40589641000000     		ar = 612860.135341209m²