Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14323 / 18555
↖ ↑ ↗
← N 77.991906°
W140.660706°		 ← 63.54 m → N 77.991906°
W140.657959°		 →
↑
63.52 m
↓
↑
63.52 m
↓
N 77.991335°
W140.660706°		 ← 63.55 m →
4 036 m²		 N 77.991335°
W140.657959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109279632568359 y=0.141567230224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109279632568359 × 217)
    floor (0.109279632568359 × 131072)
    floor (14323.5)     		tx = 14323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141567230224609 × 217)
    floor (0.141567230224609 × 131072)
    floor (18555.5)     		ty = 18555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14323 / 18555 ti = "17/14323/18555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14323/18555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14323 ÷ 217
    14323 ÷ 131072     		x = 0.109275817871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18555 ÷ 217
    18555 ÷ 131072     		y = 0.141563415527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109275817871094 × 2 - 1) × π
    -0.781448364257812 × 3.1415926535     		Λ = -2.45499244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141563415527344 × 2 - 1) × π
    0.716873168945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.25212348104986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45499244} λ = -2.45499244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25212348104986))-π/2
    2×atan(9.5079042696775)-π/2
    2×1.46600593897427-π/2
    2.93201187794853-1.57079632675     		φ = 1.36121555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45499244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.660706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36121555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.991906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14323 KachelY 18555 -2.45499244 1.36121555 -140.660706 77.991906
    Oben rechts KachelX + 1 14324 KachelY 18555 -2.45494450 1.36121555 -140.657959 77.991906
    Unten links KachelX 14323 KachelY + 1 18556 -2.45499244 1.36120558 -140.660706 77.991335
    Unten rechts KachelX + 1 14324 KachelY + 1 18556 -2.45494450 1.36120558 -140.657959 77.991335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36121555-1.36120558) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dl = 63.5188700001643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36121555-1.36120558) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dr = 63.5188700001643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45499244--2.45494450) × cos(1.36121555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208049868285134 × 6371000     		do = 63.5437849778478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45499244--2.45494450) × cos(1.36120558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208059620113447 × 6371000     		du = 63.5467634372267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36121555)-sin(1.36120558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208049868285134-0.208059620113447)×R²
    abs(-2.45494450--2.45499244)×9.75182831317034e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.75182831317034e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.75182831317034e-06×40589641000000     		ar = 4036.32401153211m²