Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14322 / 20314
↖ ↑ ↗
← S 39.588757°
W 22.653809°		 ← 941.44 m → S 39.588757°
W 22.642822°		 →
↑
941.38 m
↓
↑
941.38 m
↓
S 39.597223°
W 22.653809°		 ← 941.33 m →
886 200 m²		 S 39.597223°
W 22.642822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437088012695312 y=0.619949340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437088012695312 × 215)
    floor (0.437088012695312 × 32768)
    floor (14322.5)     		tx = 14322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619949340820312 × 215)
    floor (0.619949340820312 × 32768)
    floor (20314.5)     		ty = 20314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14322 / 20314 ti = "15/14322/20314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14322/20314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14322 ÷ 215
    14322 ÷ 32768     		x = 0.43707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20314 ÷ 215
    20314 ÷ 32768     		y = 0.61993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43707275390625 × 2 - 1) × π
    -0.1258544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39538355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61993408203125 × 2 - 1) × π
    -0.2398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.753568062027283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39538355} λ = -0.39538355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753568062027283))-π/2
    2×atan(0.47068412287321)-π/2
    2×0.439921082777792-π/2
    0.879842165555583-1.57079632675     		φ = -0.69095416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39538355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.653809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69095416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.588757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14322 KachelY 20314 -0.39538355 -0.69095416 -22.653809 -39.588757
    Oben rechts KachelX + 1 14323 KachelY 20314 -0.39519180 -0.69095416 -22.642822 -39.588757
    Unten links KachelX 14322 KachelY + 1 20315 -0.39538355 -0.69110192 -22.653809 -39.597223
    Unten rechts KachelX + 1 14323 KachelY + 1 20315 -0.39519180 -0.69110192 -22.642822 -39.597223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69095416--0.69110192) × R
    0.000147760000000052 × 6371000     		dl = 941.378960000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69095416--0.69110192) × R
    0.000147760000000052 × 6371000     		dr = 941.378960000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39538355--0.39519180) × cos(-0.69095416) × R
    0.000191749999999991 × 0.770638305692101 × 6371000     		do = 941.442001786923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39538355--0.39519180) × cos(-0.69110192) × R
    0.000191749999999991 × 0.770544133853134 × 6371000     		du = 941.326957772195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69095416)-sin(-0.69110192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770638305692101-0.770544133853134)×R²
    abs(-0.39519180--0.39538355)×9.41718389674273e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41718389674273e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41718389674273e-05×40589641000000     		ar = 886199.544147869m²