Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14322 / 11310
↖ ↑ ↗
← N 48.589326°
W 22.653809°		 ← 808.06 m → N 48.589326°
W 22.642822°		 →
↑
808.10 m
↓
↑
808.10 m
↓
N 48.582059°
W 22.653809°		 ← 808.17 m →
653 034 m²		 N 48.582059°
W 22.642822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437088012695312 y=0.345169067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437088012695312 × 215)
    floor (0.437088012695312 × 32768)
    floor (14322.5)     		tx = 14322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345169067382812 × 215)
    floor (0.345169067382812 × 32768)
    floor (11310.5)     		ty = 11310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14322 / 11310 ti = "15/14322/11310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14322/11310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14322 ÷ 215
    14322 ÷ 32768     		x = 0.43707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11310 ÷ 215
    11310 ÷ 32768     		y = 0.34515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43707275390625 × 2 - 1) × π
    -0.1258544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39538355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34515380859375 × 2 - 1) × π
    0.3096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.97292731468866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39538355} λ = -0.39538355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97292731468866))-π/2
    2×atan(2.64567786645358)-π/2
    2×1.20942002208882-π/2
    2.41884004417763-1.57079632675     		φ = 0.84804372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39538355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.653809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84804372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.589326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14322 KachelY 11310 -0.39538355 0.84804372 -22.653809 48.589326
    Oben rechts KachelX + 1 14323 KachelY 11310 -0.39519180 0.84804372 -22.642822 48.589326
    Unten links KachelX 14322 KachelY + 1 11311 -0.39538355 0.84791688 -22.653809 48.582059
    Unten rechts KachelX + 1 14323 KachelY + 1 11311 -0.39519180 0.84791688 -22.642822 48.582059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84804372-0.84791688) × R
    0.000126839999999961 × 6371000     		dl = 808.097639999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84804372-0.84791688) × R
    0.000126839999999961 × 6371000     		dr = 808.097639999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39538355--0.39519180) × cos(0.84804372) × R
    0.000191749999999991 × 0.661451596890788 × 6371000     		do = 808.055232736925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39538355--0.39519180) × cos(0.84791688) × R
    0.000191749999999991 × 0.661546720029414 × 6371000     		du = 808.171438896653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84804372)-sin(0.84791688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661451596890788-0.661546720029414)×R²
    abs(-0.39519180--0.39538355)×9.51231386253637e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51231386253637e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51231386253637e-05×40589641000000     		ar = 653034.480401787m²