Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14321 / 21294
↖ ↑ ↗
← S 47.383474°
W 22.664795°		 ← 827.16 m → S 47.383474°
W 22.653809°		 →
↑
827.08 m
↓
↑
827.08 m
↓
S 47.390912°
W 22.664795°		 ← 827.04 m →
684 080 m²		 S 47.390912°
W 22.653809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437057495117188 y=0.649856567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437057495117188 × 215)
    floor (0.437057495117188 × 32768)
    floor (14321.5)     		tx = 14321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649856567382812 × 215)
    floor (0.649856567382812 × 32768)
    floor (21294.5)     		ty = 21294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14321 / 21294 ti = "15/14321/21294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14321/21294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14321 ÷ 215
    14321 ÷ 32768     		x = 0.437042236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21294 ÷ 215
    21294 ÷ 32768     		y = 0.64984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437042236328125 × 2 - 1) × π
    -0.12591552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39557530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.2996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.941480708537903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39557530} λ = -0.39557530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941480708537903))-π/2
    2×atan(0.390049857401612)-π/2
    2×0.37189934835612-π/2
    0.743798696712239-1.57079632675     		φ = -0.82699763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39557530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.664795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82699763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.383474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14321 KachelY 21294 -0.39557530 -0.82699763 -22.664795 -47.383474
    Oben rechts KachelX + 1 14322 KachelY 21294 -0.39538355 -0.82699763 -22.653809 -47.383474
    Unten links KachelX 14321 KachelY + 1 21295 -0.39557530 -0.82712745 -22.664795 -47.390912
    Unten rechts KachelX + 1 14322 KachelY + 1 21295 -0.39538355 -0.82712745 -22.653809 -47.390912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82699763--0.82712745) × R
    0.000129819999999947 × 6371000     		dl = 827.083219999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82699763--0.82712745) × R
    0.000129819999999947 × 6371000     		dr = 827.083219999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39557530--0.39538355) × cos(-0.82699763) × R
    0.000191750000000046 × 0.677088258014483 × 6371000     		do = 827.157591704818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39557530--0.39538355) × cos(-0.82712745) × R
    0.000191750000000046 × 0.676992717534724 × 6371000     		du = 827.040875704781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82699763)-sin(-0.82712745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677088258014483-0.676992717534724)×R²
    abs(-0.39538355--0.39557530)×9.55404797591264e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55404797591264e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55404797591264e-05×40589641000000     		ar = 684079.898433116m²