Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14321 / 11315
↖ ↑ ↗
← N 48.552978°
W 22.664795°		 ← 808.64 m → N 48.552978°
W 22.653809°		 →
↑
808.67 m
↓
↑
808.67 m
↓
N 48.545706°
W 22.664795°		 ← 808.75 m →
653 968 m²		 N 48.545706°
W 22.653809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437057495117188 y=0.345321655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437057495117188 × 215)
    floor (0.437057495117188 × 32768)
    floor (14321.5)     		tx = 14321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345321655273438 × 215)
    floor (0.345321655273438 × 32768)
    floor (11315.5)     		ty = 11315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14321 / 11315 ti = "15/14321/11315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14321/11315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14321 ÷ 215
    14321 ÷ 32768     		x = 0.437042236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11315 ÷ 215
    11315 ÷ 32768     		y = 0.345306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437042236328125 × 2 - 1) × π
    -0.12591552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39557530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345306396484375 × 2 - 1) × π
    0.30938720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.971968576696259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39557530} λ = -0.39557530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971968576696259))-π/2
    2×atan(2.64314257010402)-π/2
    2×1.20910282869711-π/2
    2.41820565739421-1.57079632675     		φ = 0.84740933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39557530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.664795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84740933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.552978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14321 KachelY 11315 -0.39557530 0.84740933 -22.664795 48.552978
    Oben rechts KachelX + 1 14322 KachelY 11315 -0.39538355 0.84740933 -22.653809 48.552978
    Unten links KachelX 14321 KachelY + 1 11316 -0.39557530 0.84728240 -22.664795 48.545706
    Unten rechts KachelX + 1 14322 KachelY + 1 11316 -0.39538355 0.84728240 -22.653809 48.545706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84740933-0.84728240) × R
    0.00012692999999997 × 6371000     		dl = 808.671029999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84740933-0.84728240) × R
    0.00012692999999997 × 6371000     		dr = 808.671029999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39557530--0.39538355) × cos(0.84740933) × R
    0.000191750000000046 × 0.661927248554375 × 6371000     		do = 808.636307478725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39557530--0.39538355) × cos(0.84728240) × R
    0.000191750000000046 × 0.662022385899222 × 6371000     		du = 808.75253099333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84740933)-sin(0.84728240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661927248554375-0.662022385899222)×R²
    abs(-0.39538355--0.39557530)×9.51373448465631e-05×R²
    0.000191750000000046×9.51373448465631e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.51373448465631e-05×40589641000000     		ar = 653967.749836809m²