Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14319 / 10483
↖ ↑ ↗
← N 76.533459°
W101.343384°		 ← 142.24 m → N 76.533459°
W101.337891°		 →
↑
142.26 m
↓
↑
142.26 m
↓
N 76.532180°
W101.343384°		 ← 142.25 m →
20 236 m²		 N 76.532180°
W101.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218498229980469 y=0.159965515136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218498229980469 × 216)
    floor (0.218498229980469 × 65536)
    floor (14319.5)     		tx = 14319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159965515136719 × 216)
    floor (0.159965515136719 × 65536)
    floor (10483.5)     		ty = 10483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14319 / 10483 ti = "16/14319/10483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14319/10483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14319 ÷ 216
    14319 ÷ 65536     		x = 0.218490600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10483 ÷ 216
    10483 ÷ 65536     		y = 0.159957885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218490600585938 × 2 - 1) × π
    -0.563018798828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76877572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159957885742188 × 2 - 1) × π
    0.680084228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1365476160659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76877572} λ = -1.76877572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1365476160659))-π/2
    2×atan(8.47014490093387)-π/2
    2×1.45327858717824-π/2
    2.90655717435648-1.57079632675     		φ = 1.33576085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76877572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.343384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33576085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.533459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14319 KachelY 10483 -1.76877572 1.33576085 -101.343384 76.533459
    Oben rechts KachelX + 1 14320 KachelY 10483 -1.76867985 1.33576085 -101.337891 76.533459
    Unten links KachelX 14319 KachelY + 1 10484 -1.76877572 1.33573852 -101.343384 76.532180
    Unten rechts KachelX + 1 14320 KachelY + 1 10484 -1.76867985 1.33573852 -101.337891 76.532180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33576085-1.33573852) × R
    2.23299999999593e-05 × 6371000     		dl = 142.264429999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33576085-1.33573852) × R
    2.23299999999593e-05 × 6371000     		dr = 142.264429999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76877572--1.76867985) × cos(1.33576085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232877487057703 × 6371000     		do = 142.238721003175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76877572--1.76867985) × cos(1.33573852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232899203060412 × 6371000     		du = 142.251984872043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33576085)-sin(1.33573852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232877487057703-0.232899203060412)×R²
    abs(-1.76867985--1.76877572)×2.17160027092544e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17160027092544e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17160027092544e-05×40589641000000     		ar = 20236.4540564911m²