Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14318 / 9710
↖ ↑ ↗
← N 58.915992°
W 22.697754°		 ← 630.73 m → N 58.915992°
W 22.686768°		 →
↑
630.79 m
↓
↑
630.79 m
↓
N 58.910319°
W 22.697754°		 ← 630.83 m →
397 890 m²		 N 58.910319°
W 22.686768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436965942382812 y=0.296340942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436965942382812 × 215)
    floor (0.436965942382812 × 32768)
    floor (14318.5)     		tx = 14318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296340942382812 × 215)
    floor (0.296340942382812 × 32768)
    floor (9710.5)     		ty = 9710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14318 / 9710 ti = "15/14318/9710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14318/9710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14318 ÷ 215
    14318 ÷ 32768     		x = 0.43695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9710 ÷ 215
    9710 ÷ 32768     		y = 0.29632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39615054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29632568359375 × 2 - 1) × π
    0.4073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27972347225702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39615054} λ = -0.39615054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27972347225702))-π/2
    2×atan(3.59564529240417)-π/2
    2×1.29953718396025-π/2
    2.5990743679205-1.57079632675     		φ = 1.02827804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39615054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.697754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02827804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.915992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14318 KachelY 9710 -0.39615054 1.02827804 -22.697754 58.915992
    Oben rechts KachelX + 1 14319 KachelY 9710 -0.39595879 1.02827804 -22.686768 58.915992
    Unten links KachelX 14318 KachelY + 1 9711 -0.39615054 1.02817903 -22.697754 58.910319
    Unten rechts KachelX + 1 14319 KachelY + 1 9711 -0.39595879 1.02817903 -22.686768 58.910319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02827804-1.02817903) × R
    9.90100000000105e-05 × 6371000     		dl = 630.792710000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02827804-1.02817903) × R
    9.90100000000105e-05 × 6371000     		dr = 630.792710000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39615054--0.39595879) × cos(1.02827804) × R
    0.000191749999999991 × 0.516294315551444 × 6371000     		do = 630.725400429498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39615054--0.39595879) × cos(1.02817903) × R
    0.000191749999999991 × 0.516379106295701 × 6371000     		du = 630.828984130719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02827804)-sin(1.02817903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516294315551444-0.516379106295701)×R²
    abs(-0.39595879--0.39615054)×8.47907442571572e-05×R²
    0.000191749999999991×8.47907442571572e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.47907442571572e-05×40589641000000     		ar = 397889.65484931m²