Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14318 / 18405
↖ ↑ ↗
← N 78.077319°
W140.674438°		 ← 63.09 m → N 78.077319°
W140.671692°		 →
↑
63.07 m
↓
↑
63.07 m
↓
N 78.076752°
W140.674438°		 ← 63.09 m →
3 979 m²		 N 78.076752°
W140.671692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109241485595703 y=0.140422821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109241485595703 × 217)
    floor (0.109241485595703 × 131072)
    floor (14318.5)     		tx = 14318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140422821044922 × 217)
    floor (0.140422821044922 × 131072)
    floor (18405.5)     		ty = 18405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14318 / 18405 ti = "17/14318/18405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14318/18405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14318 ÷ 217
    14318 ÷ 131072     		x = 0.109237670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18405 ÷ 217
    18405 ÷ 131072     		y = 0.140419006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109237670898438 × 2 - 1) × π
    -0.781524658203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45523212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140419006347656 × 2 - 1) × π
    0.719161987304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.25931401599287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45523212} λ = -2.45523212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25931401599287))-π/2
    2×atan(9.57651757511813)-π/2
    2×1.46675130937701-π/2
    2.93350261875401-1.57079632675     		φ = 1.36270629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45523212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.674438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36270629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.077319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14318 KachelY 18405 -2.45523212 1.36270629 -140.674438 78.077319
    Oben rechts KachelX + 1 14319 KachelY 18405 -2.45518419 1.36270629 -140.671692 78.077319
    Unten links KachelX 14318 KachelY + 1 18406 -2.45523212 1.36269639 -140.674438 78.076752
    Unten rechts KachelX + 1 14319 KachelY + 1 18406 -2.45518419 1.36269639 -140.671692 78.076752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36270629-1.36269639) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dl = 63.0729000000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36270629-1.36269639) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dr = 63.0729000000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45523212--2.45518419) × cos(1.36270629) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.206591517694741 × 6371000     		do = 63.0852052235012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45523212--2.45518419) × cos(1.36269639) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.206601204114702 × 6371000     		du = 63.0881630883638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36270629)-sin(1.36269639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206591517694741-0.206601204114702)×R²
    abs(-2.45518419--2.45523212)×9.68641996082487e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.68641996082487e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.68641996082487e-06×40589641000000     		ar = 3979.0601211128m²