Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14317 / 7501
↖ ↑ ↗
← N 69.360959°
W 22.708740°		 ← 430.60 m → N 69.360959°
W 22.697754°		 →
↑
430.62 m
↓
↑
430.62 m
↓
N 69.357087°
W 22.708740°		 ← 430.68 m →
185 441 m²		 N 69.357087°
W 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436935424804688 y=0.228927612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436935424804688 × 215)
    floor (0.436935424804688 × 32768)
    floor (14317.5)     		tx = 14317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228927612304688 × 215)
    floor (0.228927612304688 × 32768)
    floor (7501.5)     		ty = 7501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14317 / 7501 ti = "15/14317/7501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14317/7501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14317 ÷ 215
    14317 ÷ 32768     		x = 0.436920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7501 ÷ 215
    7501 ÷ 32768     		y = 0.228912353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.12615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39634229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228912353515625 × 2 - 1) × π
    0.54217529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70329391729984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39634229} λ = -0.39634229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70329391729984))-π/2
    2×atan(5.49200785023807)-π/2
    2×1.39068671796796-π/2
    2.78137343593592-1.57079632675     		φ = 1.21057711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39634229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.708740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21057711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.360959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14317 KachelY 7501 -0.39634229 1.21057711 -22.708740 69.360959
    Oben rechts KachelX + 1 14318 KachelY 7501 -0.39615054 1.21057711 -22.697754 69.360959
    Unten links KachelX 14317 KachelY + 1 7502 -0.39634229 1.21050952 -22.708740 69.357087
    Unten rechts KachelX + 1 14318 KachelY + 1 7502 -0.39615054 1.21050952 -22.697754 69.357087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21057711-1.21050952) × R
    6.75900000000063e-05 × 6371000     		dl = 430.61589000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21057711-1.21050952) × R
    6.75900000000063e-05 × 6371000     		dr = 430.61589000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39634229--0.39615054) × cos(1.21057711) × R
    0.000191749999999991 × 0.352479389111042 × 6371000     		do = 430.60265655405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39634229--0.39615054) × cos(1.21050952) × R
    0.000191749999999991 × 0.352542640351052 × 6371000     		du = 430.679926751458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21057711)-sin(1.21050952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352479389111042-0.352542640351052)×R²
    abs(-0.39615054--0.39634229)×6.32512400103868e-05×R²
    0.000191749999999991×6.32512400103868e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.32512400103868e-05×40589641000000     		ar = 185440.983146107m²