Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14317 / 21341
↖ ↑ ↗
← S 47.731934°
W 22.708740°		 ← 821.67 m → S 47.731934°
W 22.697754°		 →
↑
821.67 m
↓
↑
821.67 m
↓
S 47.739324°
W 22.708740°		 ← 821.56 m →
675 096 m²		 S 47.739324°
W 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436935424804688 y=0.651290893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436935424804688 × 215)
    floor (0.436935424804688 × 32768)
    floor (14317.5)     		tx = 14317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651290893554688 × 215)
    floor (0.651290893554688 × 32768)
    floor (21341.5)     		ty = 21341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14317 / 21341 ti = "15/14317/21341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14317/21341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14317 ÷ 215
    14317 ÷ 32768     		x = 0.436920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21341 ÷ 215
    21341 ÷ 32768     		y = 0.651275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.12615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39634229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.30255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.950492845666473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39634229} λ = -0.39634229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950492845666473))-π/2
    2×atan(0.386550466778417)-π/2
    2×0.368858455899916-π/2
    0.737716911799832-1.57079632675     		φ = -0.83307941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39634229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.708740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83307941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.731934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14317 KachelY 21341 -0.39634229 -0.83307941 -22.708740 -47.731934
    Oben rechts KachelX + 1 14318 KachelY 21341 -0.39615054 -0.83307941 -22.697754 -47.731934
    Unten links KachelX 14317 KachelY + 1 21342 -0.39634229 -0.83320838 -22.708740 -47.739324
    Unten rechts KachelX + 1 14318 KachelY + 1 21342 -0.39615054 -0.83320838 -22.697754 -47.739324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83307941--0.83320838) × R
    0.000128970000000006 × 6371000     		dl = 821.667870000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83307941--0.83320838) × R
    0.000128970000000006 × 6371000     		dr = 821.667870000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39634229--0.39615054) × cos(-0.83307941) × R
    0.000191749999999991 × 0.672600170577275 × 6371000     		do = 821.674767933854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39634229--0.39615054) × cos(-0.83320838) × R
    0.000191749999999991 × 0.67250472639858 × 6371000     		du = 821.558169578976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83307941)-sin(-0.83320838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672600170577275-0.67250472639858)×R²
    abs(-0.39615054--0.39634229)×9.54441786947813e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54441786947813e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54441786947813e-05×40589641000000     		ar = 675095.854775705m²