Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14317 / 11022
↖ ↑ ↗
← N 50.639010°
W 22.708740°		 ← 774.77 m → N 50.639010°
W 22.697754°		 →
↑
774.84 m
↓
↑
774.84 m
↓
N 50.632042°
W 22.708740°		 ← 774.88 m →
600 367 m²		 N 50.632042°
W 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436935424804688 y=0.336380004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436935424804688 × 215)
    floor (0.436935424804688 × 32768)
    floor (14317.5)     		tx = 14317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336380004882812 × 215)
    floor (0.336380004882812 × 32768)
    floor (11022.5)     		ty = 11022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14317 / 11022 ti = "15/14317/11022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14317/11022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14317 ÷ 215
    14317 ÷ 32768     		x = 0.436920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11022 ÷ 215
    11022 ÷ 32768     		y = 0.33636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.12615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39634229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33636474609375 × 2 - 1) × π
    0.3272705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02815062305096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39634229} λ = -0.39634229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02815062305096))-π/2
    2×atan(2.79589039525594)-π/2
    2×1.22730689306774-π/2
    2.45461378613548-1.57079632675     		φ = 0.88381746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39634229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.708740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88381746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.639010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14317 KachelY 11022 -0.39634229 0.88381746 -22.708740 50.639010
    Oben rechts KachelX + 1 14318 KachelY 11022 -0.39615054 0.88381746 -22.697754 50.639010
    Unten links KachelX 14317 KachelY + 1 11023 -0.39634229 0.88369584 -22.708740 50.632042
    Unten rechts KachelX + 1 14318 KachelY + 1 11023 -0.39615054 0.88369584 -22.697754 50.632042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88381746-0.88369584) × R
    0.000121620000000044 × 6371000     		dl = 774.841020000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88381746-0.88369584) × R
    0.000121620000000044 × 6371000     		dr = 774.841020000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39634229--0.39615054) × cos(0.88381746) × R
    0.000191749999999991 × 0.634204243907759 × 6371000     		do = 774.768796874254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39634229--0.39615054) × cos(0.88369584) × R
    0.000191749999999991 × 0.634298271612058 × 6371000     		du = 774.883664808413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88381746)-sin(0.88369584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634204243907759-0.634298271612058)×R²
    abs(-0.39615054--0.39634229)×9.40277042987825e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40277042987825e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40277042987825e-05×40589641000000     		ar = 600367.147767781m²