Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14316 / 7503
↖ ↑ ↗
← N 69.353213°
W 22.719726°		 ← 430.73 m → N 69.353213°
W 22.708740°		 →
↑
430.81 m
↓
↑
430.81 m
↓
N 69.349338°
W 22.719726°		 ← 430.81 m →
185 580 m²		 N 69.349338°
W 22.708740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436904907226562 y=0.228988647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436904907226562 × 215)
    floor (0.436904907226562 × 32768)
    floor (14316.5)     		tx = 14316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228988647460938 × 215)
    floor (0.228988647460938 × 32768)
    floor (7503.5)     		ty = 7503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14316 / 7503 ti = "15/14316/7503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14316/7503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14316 ÷ 215
    14316 ÷ 32768     		x = 0.4368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7503 ÷ 215
    7503 ÷ 32768     		y = 0.228973388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39653403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228973388671875 × 2 - 1) × π
    0.54205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70291042210287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39653403} λ = -0.39653403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70291042210287))-π/2
    2×atan(5.48990209540507)-π/2
    2×1.39061911876228-π/2
    2.78123823752456-1.57079632675     		φ = 1.21044191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39653403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.719726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21044191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.353213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14316 KachelY 7503 -0.39653403 1.21044191 -22.719726 69.353213
    Oben rechts KachelX + 1 14317 KachelY 7503 -0.39634229 1.21044191 -22.708740 69.353213
    Unten links KachelX 14316 KachelY + 1 7504 -0.39653403 1.21037429 -22.719726 69.349338
    Unten rechts KachelX + 1 14317 KachelY + 1 7504 -0.39634229 1.21037429 -22.708740 69.349338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21044191-1.21037429) × R
    6.76199999998239e-05 × 6371000     		dl = 430.807019998878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21044191-1.21037429) × R
    6.76199999998239e-05 × 6371000     		dr = 430.807019998878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39653403--0.39634229) × cos(1.21044191) × R
    0.000191739999999996 × 0.352605908695942 × 6371000     		do = 430.734753322427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39653403--0.39634229) × cos(1.21037429) × R
    0.000191739999999996 × 0.352669184786511 × 6371000     		du = 430.812049846933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21044191)-sin(1.21037429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352605908695942-0.352669184786511)×R²
    abs(-0.39634229--0.39653403)×6.32760905694418e-05×R²
    0.000191739999999996×6.32760905694418e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.32760905694418e-05×40589641000000     		ar = 185580.205502492m²