Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14316 / 18332
↖ ↑ ↗
← N 78.118670°
W140.679932°		 ← 62.88 m → N 78.118670°
W140.677185°		 →
↑
62.88 m
↓
↑
62.88 m
↓
N 78.118105°
W140.679932°		 ← 62.89 m →
3 954 m²		 N 78.118105°
W140.677185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109226226806641 y=0.139865875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109226226806641 × 217)
    floor (0.109226226806641 × 131072)
    floor (14316.5)     		tx = 14316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139865875244141 × 217)
    floor (0.139865875244141 × 131072)
    floor (18332.5)     		ty = 18332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14316 / 18332 ti = "17/14316/18332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14316/18332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14316 ÷ 217
    14316 ÷ 131072     		x = 0.109222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18332 ÷ 217
    18332 ÷ 131072     		y = 0.139862060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.78155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45532800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139862060546875 × 2 - 1) × π
    0.72027587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26281340966513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45532800} λ = -2.45532800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26281340966513))-π/2
    2×atan(9.61008828442847)-π/2
    2×1.46711216374955-π/2
    2.93422432749911-1.57079632675     		φ = 1.36342800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45532800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.679932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36342800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.118670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14316 KachelY 18332 -2.45532800 1.36342800 -140.679932 78.118670
    Oben rechts KachelX + 1 14317 KachelY 18332 -2.45528006 1.36342800 -140.677185 78.118670
    Unten links KachelX 14316 KachelY + 1 18333 -2.45532800 1.36341813 -140.679932 78.118105
    Unten rechts KachelX + 1 14317 KachelY + 1 18333 -2.45528006 1.36341813 -140.677185 78.118105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36342800-1.36341813) × R
    9.87000000018945e-06 × 6371000     		dl = 62.881770001207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36342800-1.36341813) × R
    9.87000000018945e-06 × 6371000     		dr = 62.881770001207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45532800--2.45528006) × cos(1.36342800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205885323199669 × 6371000     		do = 62.8826771933569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45532800--2.45528006) × cos(1.36341813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205894981736001 × 6371000     		du = 62.8856271589634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36342800)-sin(1.36341813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205885323199669-0.205894981736001)×R²
    abs(-2.45528006--2.45532800)×9.65853633183578e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.65853633183578e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.65853633183578e-06×40589641000000     		ar = 3954.26679377652m²