Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14315 / 21219
↖ ↑ ↗
← S 46.822617°
W 22.730713°		 ← 835.92 m → S 46.822617°
W 22.719726°		 →
↑
835.81 m
↓
↑
835.81 m
↓
S 46.830134°
W 22.730713°		 ← 835.80 m →
698 621 m²		 S 46.830134°
W 22.719726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436874389648438 y=0.647567749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436874389648438 × 215)
    floor (0.436874389648438 × 32768)
    floor (14315.5)     		tx = 14315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647567749023438 × 215)
    floor (0.647567749023438 × 32768)
    floor (21219.5)     		ty = 21219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14315 / 21219 ti = "15/14315/21219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14315/21219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14315 ÷ 215
    14315 ÷ 32768     		x = 0.436859130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21219 ÷ 215
    21219 ÷ 32768     		y = 0.647552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436859130859375 × 2 - 1) × π
    -0.12628173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39672578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.29510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.927099638651886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39672578} λ = -0.39672578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927099638651886))-π/2
    2×atan(0.395699719820311)-π/2
    2×0.376793750771602-π/2
    0.753587501543203-1.57079632675     		φ = -0.81720883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39672578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.730713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81720883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.822617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14315 KachelY 21219 -0.39672578 -0.81720883 -22.730713 -46.822617
    Oben rechts KachelX + 1 14316 KachelY 21219 -0.39653403 -0.81720883 -22.719726 -46.822617
    Unten links KachelX 14315 KachelY + 1 21220 -0.39672578 -0.81734002 -22.730713 -46.830134
    Unten rechts KachelX + 1 14316 KachelY + 1 21220 -0.39653403 -0.81734002 -22.719726 -46.830134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81720883--0.81734002) × R
    0.000131189999999948 × 6371000     		dl = 835.811489999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81720883--0.81734002) × R
    0.000131189999999948 × 6371000     		dr = 835.811489999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39672578--0.39653403) × cos(-0.81720883) × R
    0.000191749999999991 × 0.684259299478616 × 6371000     		do = 835.918017420541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39672578--0.39653403) × cos(-0.81734002) × R
    0.000191749999999991 × 0.684163624753859 × 6371000     		du = 835.801137421544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81720883)-sin(-0.81734002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684259299478616-0.684163624753859)×R²
    abs(-0.39653403--0.39672578)×9.56747247574663e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56747247574663e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56747247574663e-05×40589641000000     		ar = 698621.039836628m²