Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14315 / 20291
↖ ↑ ↗
← S 39.393754°
W 22.730713°		 ← 944.09 m → S 39.393754°
W 22.719726°		 →
↑
944.05 m
↓
↑
944.05 m
↓
S 39.402245°
W 22.730713°		 ← 943.97 m →
891 215 m²		 S 39.402245°
W 22.719726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436874389648438 y=0.619247436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436874389648438 × 215)
    floor (0.436874389648438 × 32768)
    floor (14315.5)     		tx = 14315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619247436523438 × 215)
    floor (0.619247436523438 × 32768)
    floor (20291.5)     		ty = 20291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14315 / 20291 ti = "15/14315/20291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14315/20291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14315 ÷ 215
    14315 ÷ 32768     		x = 0.436859130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20291 ÷ 215
    20291 ÷ 32768     		y = 0.619232177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436859130859375 × 2 - 1) × π
    -0.12628173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39672578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.23846435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.749157867262238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39672578} λ = -0.39672578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749157867262238))-π/2
    2×atan(0.472764515624569)-π/2
    2×0.44162280222708-π/2
    0.883245604454159-1.57079632675     		φ = -0.68755072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39672578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.730713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68755072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.393754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14315 KachelY 20291 -0.39672578 -0.68755072 -22.730713 -39.393754
    Oben rechts KachelX + 1 14316 KachelY 20291 -0.39653403 -0.68755072 -22.719726 -39.393754
    Unten links KachelX 14315 KachelY + 1 20292 -0.39672578 -0.68769890 -22.730713 -39.402245
    Unten rechts KachelX + 1 14316 KachelY + 1 20292 -0.39653403 -0.68769890 -22.719726 -39.402245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68755072--0.68769890) × R
    0.000148180000000053 × 6371000     		dl = 944.054780000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68755072--0.68769890) × R
    0.000148180000000053 × 6371000     		dr = 944.054780000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39672578--0.39653403) × cos(-0.68755072) × R
    0.000191749999999991 × 0.772802757887321 × 6371000     		do = 944.086181543352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39672578--0.39653403) × cos(-0.68769890) × R
    0.000191749999999991 × 0.772708707517946 × 6371000     		du = 943.971285920646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68755072)-sin(-0.68769890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772802757887321-0.772708707517946)×R²
    abs(-0.39653403--0.39672578)×9.40503693748207e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40503693748207e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40503693748207e-05×40589641000000     		ar = 891214.8401678m²