Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14315 / 18564
↖ ↑ ↗
← N 77.986762°
W140.682678°		 ← 63.57 m → N 77.986762°
W140.679932°		 →
↑
63.52 m
↓
↑
63.52 m
↓
N 77.986191°
W140.682678°		 ← 63.57 m →
4 038 m²		 N 77.986191°
W140.679932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109218597412109 y=0.141635894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109218597412109 × 217)
    floor (0.109218597412109 × 131072)
    floor (14315.5)     		tx = 14315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141635894775391 × 217)
    floor (0.141635894775391 × 131072)
    floor (18564.5)     		ty = 18564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14315 / 18564 ti = "17/14315/18564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14315/18564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14315 ÷ 217
    14315 ÷ 131072     		x = 0.109214782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18564 ÷ 217
    18564 ÷ 131072     		y = 0.141632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109214782714844 × 2 - 1) × π
    -0.781570434570312 × 3.1415926535     		Λ = -2.45537594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141632080078125 × 2 - 1) × π
    0.71673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25169204895328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45537594} λ = -2.45537594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25169204895328))-π/2
    2×atan(9.50380313934758)-π/2
    2×1.46596104980838-π/2
    2.93192209961675-1.57079632675     		φ = 1.36112577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45537594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.682678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36112577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.986762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14315 KachelY 18564 -2.45537594 1.36112577 -140.682678 77.986762
    Oben rechts KachelX + 1 14316 KachelY 18564 -2.45532800 1.36112577 -140.679932 77.986762
    Unten links KachelX 14315 KachelY + 1 18565 -2.45537594 1.36111580 -140.682678 77.986191
    Unten rechts KachelX + 1 14316 KachelY + 1 18565 -2.45532800 1.36111580 -140.679932 77.986191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36112577-1.36111580) × R
    9.96999999980375e-06 × 6371000     		dl = 63.5188699987497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36112577-1.36111580) × R
    9.96999999980375e-06 × 6371000     		dr = 63.5188699987497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45537594--2.45532800) × cos(1.36112577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20813768290032 × 6371000     		do = 63.570605821674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45537594--2.45532800) × cos(1.36111580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208147434542363 × 6371000     		du = 63.573584224161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36112577)-sin(1.36111580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20813768290032-0.208147434542363)×R²
    abs(-2.45532800--2.45537594)×9.75164204244927e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.75164204244927e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.75164204244927e-06×40589641000000     		ar = 4038.02763939835m²