Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14314 / 4490
↖ ↑ ↗
← N 78.327204°
W 22.741699°		 ← 247.16 m → N 78.327204°
W 22.730713°		 →
↑
247.19 m
↓
↑
247.19 m
↓
N 78.324981°
W 22.741699°		 ← 247.21 m →
61 104 m²		 N 78.324981°
W 22.730713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436843872070312 y=0.137039184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436843872070312 × 215)
    floor (0.436843872070312 × 32768)
    floor (14314.5)     		tx = 14314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137039184570312 × 215)
    floor (0.137039184570312 × 32768)
    floor (4490.5)     		ty = 4490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14314 / 4490 ti = "15/14314/4490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14314/4490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14314 ÷ 215
    14314 ÷ 32768     		x = 0.43682861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4490 ÷ 215
    4490 ÷ 32768     		y = 0.13702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43682861328125 × 2 - 1) × π
    -0.1263427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39691753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13702392578125 × 2 - 1) × π
    0.7259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28064593632379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39691753} λ = -0.39691753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28064593632379))-π/2
    2×atan(9.78299756255118)-π/2
    2×1.46893196305984-π/2
    2.93786392611967-1.57079632675     		φ = 1.36706760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39691753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.741699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36706760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.327204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14314 KachelY 4490 -0.39691753 1.36706760 -22.741699 78.327204
    Oben rechts KachelX + 1 14315 KachelY 4490 -0.39672578 1.36706760 -22.730713 78.327204
    Unten links KachelX 14314 KachelY + 1 4491 -0.39691753 1.36702880 -22.741699 78.324981
    Unten rechts KachelX + 1 14315 KachelY + 1 4491 -0.39672578 1.36702880 -22.730713 78.324981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36706760-1.36702880) × R
    3.88000000000055e-05 × 6371000     		dl = 247.194800000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36706760-1.36702880) × R
    3.88000000000055e-05 × 6371000     		dr = 247.194800000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39691753--0.39672578) × cos(1.36706760) × R
    0.000191750000000046 × 0.20232234174821 × 6371000     		do = 247.164913831586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39691753--0.39672578) × cos(1.36702880) × R
    0.000191750000000046 × 0.20236033917244 × 6371000     		du = 247.211332976425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36706760)-sin(1.36702880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20232234174821-0.20236033917244)×R²
    abs(-0.39672578--0.39691753)×3.79974242301906e-05×R²
    0.000191750000000046×3.79974242301906e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.79974242301906e-05×40589641000000     		ar = 61103.6187343967m²