Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14314 / 18405
↖ ↑ ↗
← N 78.077319°
W140.685425°		 ← 63.09 m → N 78.077319°
W140.682678°		 →
↑
63.07 m
↓
↑
63.07 m
↓
N 78.076752°
W140.685425°		 ← 63.09 m →
3 979 m²		 N 78.076752°
W140.682678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109210968017578 y=0.140422821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109210968017578 × 217)
    floor (0.109210968017578 × 131072)
    floor (14314.5)     		tx = 14314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140422821044922 × 217)
    floor (0.140422821044922 × 131072)
    floor (18405.5)     		ty = 18405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14314 / 18405 ti = "17/14314/18405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14314/18405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14314 ÷ 217
    14314 ÷ 131072     		x = 0.109207153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18405 ÷ 217
    18405 ÷ 131072     		y = 0.140419006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109207153320312 × 2 - 1) × π
    -0.781585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45542387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140419006347656 × 2 - 1) × π
    0.719161987304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.25931401599287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45542387} λ = -2.45542387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25931401599287))-π/2
    2×atan(9.57651757511813)-π/2
    2×1.46675130937701-π/2
    2.93350261875401-1.57079632675     		φ = 1.36270629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45542387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.685425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36270629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.077319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14314 KachelY 18405 -2.45542387 1.36270629 -140.685425 78.077319
    Oben rechts KachelX + 1 14315 KachelY 18405 -2.45537594 1.36270629 -140.682678 78.077319
    Unten links KachelX 14314 KachelY + 1 18406 -2.45542387 1.36269639 -140.685425 78.076752
    Unten rechts KachelX + 1 14315 KachelY + 1 18406 -2.45537594 1.36269639 -140.682678 78.076752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36270629-1.36269639) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dl = 63.0729000000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36270629-1.36269639) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dr = 63.0729000000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45542387--2.45537594) × cos(1.36270629) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206591517694741 × 6371000     		do = 63.0852052240857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45542387--2.45537594) × cos(1.36269639) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206601204114702 × 6371000     		du = 63.0881630889484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36270629)-sin(1.36269639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206591517694741-0.206601204114702)×R²
    abs(-2.45537594--2.45542387)×9.68641996082487e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.68641996082487e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.68641996082487e-06×40589641000000     		ar = 3979.06012114967m²