Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14312 / 2345
↖ ↑ ↗
← N 77.874199°
E134.472657°		 ← 513.22 m → N 77.874199°
E134.494629°		 →
↑
513.38 m
↓
↑
513.38 m
↓
N 77.869582°
E134.472657°		 ← 513.41 m →
263 523 m²		 N 77.869582°
E134.494629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873565673828125 y=0.143157958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873565673828125 × 214)
    floor (0.873565673828125 × 16384)
    floor (14312.5)     		tx = 14312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143157958984375 × 214)
    floor (0.143157958984375 × 16384)
    floor (2345.5)     		ty = 2345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14312 / 2345 ti = "14/14312/2345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14312/2345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14312 ÷ 214
    14312 ÷ 16384     		x = 0.87353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2345 ÷ 214
    2345 ÷ 16384     		y = 0.14312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87353515625 × 2 - 1) × π
    0.7470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34699061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14312744140625 × 2 - 1) × π
    0.7137451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24229641662775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34699061} λ = 2.34699061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24229641662775))-π/2
    2×atan(9.41492707657532)-π/2
    2×1.46497875119614-π/2
    2.92995750239228-1.57079632675     		φ = 1.35916118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34699061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.472657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35916118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.874199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14312 KachelY 2345 2.34699061 1.35916118 134.472657 77.874199
    Oben rechts KachelX + 1 14313 KachelY 2345 2.34737410 1.35916118 134.494629 77.874199
    Unten links KachelX 14312 KachelY + 1 2346 2.34699061 1.35908060 134.472657 77.869582
    Unten rechts KachelX + 1 14313 KachelY + 1 2346 2.34737410 1.35908060 134.494629 77.869582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35916118-1.35908060) × R
    8.05800000001078e-05 × 6371000     		dl = 513.375180000687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35916118-1.35908060) × R
    8.05800000001078e-05 × 6371000     		dr = 513.375180000687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34699061-2.34737410) × cos(1.35916118) × R
    0.000383489999999931 × 0.210058844568898 × 6371000     		do = 513.21887582095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34699061-2.34737410) × cos(1.35908060) × R
    0.000383489999999931 × 0.210137626045903 × 6371000     		du = 513.411355890747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35916118)-sin(1.35908060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210058844568898-0.210137626045903)×R²
    abs(2.34737410-2.34699061)×7.87814770049911e-05×R²
    0.000383489999999931×7.87814770049911e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.87814770049911e-05×40589641000000     		ar = 263523.240142001m²