Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14312 / 10329
↖ ↑ ↗
← N 76.729053°
W101.381836°		 ← 140.22 m → N 76.729053°
W101.376342°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
N 76.727792°
W101.381836°		 ← 140.24 m →
19 664 m²		 N 76.727792°
W101.376342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218391418457031 y=0.157615661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218391418457031 × 216)
    floor (0.218391418457031 × 65536)
    floor (14312.5)     		tx = 14312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157615661621094 × 216)
    floor (0.157615661621094 × 65536)
    floor (10329.5)     		ty = 10329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14312 / 10329 ti = "16/14312/10329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14312/10329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14312 ÷ 216
    14312 ÷ 65536     		x = 0.2183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10329 ÷ 216
    10329 ÷ 65536     		y = 0.157608032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2183837890625 × 2 - 1) × π
    -0.563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76944684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157608032226562 × 2 - 1) × π
    0.684783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15131218114888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76944684} λ = -1.76944684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15131218114888))-π/2
    2×atan(8.59613068055395)-π/2
    2×1.45498546769377-π/2
    2.90997093538753-1.57079632675     		φ = 1.33917461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76944684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33917461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.729053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14312 KachelY 10329 -1.76944684 1.33917461 -101.381836 76.729053
    Oben rechts KachelX + 1 14313 KachelY 10329 -1.76935096 1.33917461 -101.376342 76.729053
    Unten links KachelX 14312 KachelY + 1 10330 -1.76944684 1.33915260 -101.381836 76.727792
    Unten rechts KachelX + 1 14313 KachelY + 1 10330 -1.76935096 1.33915260 -101.376342 76.727792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33917461-1.33915260) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dl = 140.225709999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33917461-1.33915260) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dr = 140.225709999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76944684--1.76935096) × cos(1.33917461) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.229556234202042 × 6371000     		do = 140.224765405777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76944684--1.76935096) × cos(1.33915260) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.229577656378187 × 6371000     		du = 140.23785117378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33917461)-sin(1.33915260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229556234202042-0.229577656378187)×R²
    abs(-1.76935096--1.76944684)×2.14221761454247e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.14221761454247e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.14221761454247e-05×40589641000000     		ar = 19664.0347696592m²