Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14311 / 20310
↖ ↑ ↗
← S 39.554883°
W 22.774658°		 ← 941.90 m → S 39.554883°
W 22.763672°		 →
↑
941.89 m
↓
↑
941.89 m
↓
S 39.563353°
W 22.774658°		 ← 941.79 m →
887 113 m²		 S 39.563353°
W 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436752319335938 y=0.619827270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436752319335938 × 215)
    floor (0.436752319335938 × 32768)
    floor (14311.5)     		tx = 14311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619827270507812 × 215)
    floor (0.619827270507812 × 32768)
    floor (20310.5)     		ty = 20310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14311 / 20310 ti = "15/14311/20310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14311/20310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14311 ÷ 215
    14311 ÷ 32768     		x = 0.436737060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20310 ÷ 215
    20310 ÷ 32768     		y = 0.61981201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.12652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39749277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61981201171875 × 2 - 1) × π
    -0.2396240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.752801071633362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39749277} λ = -0.39749277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752801071633362))-π/2
    2×atan(0.471045271555106)-π/2
    2×0.440216691087241-π/2
    0.880433382174482-1.57079632675     		φ = -0.69036294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39749277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.774658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69036294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.554883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14311 KachelY 20310 -0.39749277 -0.69036294 -22.774658 -39.554883
    Oben rechts KachelX + 1 14312 KachelY 20310 -0.39730102 -0.69036294 -22.763672 -39.554883
    Unten links KachelX 14311 KachelY + 1 20311 -0.39749277 -0.69051078 -22.774658 -39.563353
    Unten rechts KachelX + 1 14312 KachelY + 1 20311 -0.39730102 -0.69051078 -22.763672 -39.563353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69036294--0.69051078) × R
    0.00014784000000001 × 6371000     		dl = 941.888640000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69036294--0.69051078) × R
    0.00014784000000001 × 6371000     		dr = 941.888640000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39749277--0.39730102) × cos(-0.69036294) × R
    0.000191749999999991 × 0.771014939400902 × 6371000     		do = 941.902112308467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39749277--0.39730102) × cos(-0.69051078) × R
    0.000191749999999991 × 0.77092078394173 × 6371000     		du = 941.787088303941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69036294)-sin(-0.69051078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771014939400902-0.77092078394173)×R²
    abs(-0.39730102--0.39749277)×9.41554591713523e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41554591713523e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41554591713523e-05×40589641000000     		ar = 887112.731289378m²