Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14311 / 18407
↖ ↑ ↗
← N 78.076184°
W140.693664°		 ← 63.09 m → N 78.076184°
W140.690918°		 →
↑
63.07 m
↓
↑
63.07 m
↓
N 78.075617°
W140.693664°		 ← 63.09 m →
3 979 m²		 N 78.075617°
W140.690918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109188079833984 y=0.140438079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109188079833984 × 217)
    floor (0.109188079833984 × 131072)
    floor (14311.5)     		tx = 14311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140438079833984 × 217)
    floor (0.140438079833984 × 131072)
    floor (18407.5)     		ty = 18407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14311 / 18407 ti = "17/14311/18407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14311/18407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14311 ÷ 217
    14311 ÷ 131072     		x = 0.109184265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18407 ÷ 217
    18407 ÷ 131072     		y = 0.140434265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109184265136719 × 2 - 1) × π
    -0.781631469726562 × 3.1415926535     		Λ = -2.45556768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140434265136719 × 2 - 1) × π
    0.719131469726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.25921814219363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45556768} λ = -2.45556768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25921814219363))-π/2
    2×atan(9.57559948200595)-π/2
    2×1.46674140555574-π/2
    2.93348281111149-1.57079632675     		φ = 1.36268648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45556768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.693664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36268648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.076184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14311 KachelY 18407 -2.45556768 1.36268648 -140.693664 78.076184
    Oben rechts KachelX + 1 14312 KachelY 18407 -2.45551975 1.36268648 -140.690918 78.076184
    Unten links KachelX 14311 KachelY + 1 18408 -2.45556768 1.36267658 -140.693664 78.075617
    Unten rechts KachelX + 1 14312 KachelY + 1 18408 -2.45551975 1.36267658 -140.690918 78.075617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36268648-1.36267658) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dl = 63.0729000000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36268648-1.36267658) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dr = 63.0729000000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45556768--2.45551975) × cos(1.36268648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206610900298646 × 6371000     		do = 63.0911239353607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45556768--2.45551975) × cos(1.36267658) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206620586678087 × 6371000     		du = 63.0940817878503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36268648)-sin(1.36267658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206610900298646-0.206620586678087)×R²
    abs(-2.45551975--2.45556768)×9.68637944145923e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.68637944145923e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.68637944145923e-06×40589641000000     		ar = 3979.43343111937m²