Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14310 / 10581
↖ ↑ ↗
← N 53.612062°
W 22.785645°		 ← 724.74 m → N 53.612062°
W 22.774658°		 →
↑
724.76 m
↓
↑
724.76 m
↓
N 53.605544°
W 22.785645°		 ← 724.85 m →
525 304 m²		 N 53.605544°
W 22.774658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436721801757812 y=0.322921752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436721801757812 × 215)
    floor (0.436721801757812 × 32768)
    floor (14310.5)     		tx = 14310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322921752929688 × 215)
    floor (0.322921752929688 × 32768)
    floor (10581.5)     		ty = 10581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14310 / 10581 ti = "15/14310/10581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14310/10581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14310 ÷ 215
    14310 ÷ 32768     		x = 0.43670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10581 ÷ 215
    10581 ÷ 32768     		y = 0.322906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.1265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39768452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322906494140625 × 2 - 1) × π
    0.35418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11271131398074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39768452} λ = -0.39768452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11271131398074))-π/2
    2×atan(3.04259665598318)-π/2
    2×1.25325166578131-π/2
    2.50650333156261-1.57079632675     		φ = 0.93570700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39768452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.785645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93570700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.612062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14310 KachelY 10581 -0.39768452 0.93570700 -22.785645 53.612062
    Oben rechts KachelX + 1 14311 KachelY 10581 -0.39749277 0.93570700 -22.774658 53.612062
    Unten links KachelX 14310 KachelY + 1 10582 -0.39768452 0.93559324 -22.785645 53.605544
    Unten rechts KachelX + 1 14311 KachelY + 1 10582 -0.39749277 0.93559324 -22.774658 53.605544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93570700-0.93559324) × R
    0.000113759999999963 × 6371000     		dl = 724.764959999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93570700-0.93559324) × R
    0.000113759999999963 × 6371000     		dr = 724.764959999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39768452--0.39749277) × cos(0.93570700) × R
    0.000191749999999991 × 0.593249426463462 × 6371000     		do = 724.736784407718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39768452--0.39749277) × cos(0.93559324) × R
    0.000191749999999991 × 0.593341001552608 × 6371000     		du = 724.848656130941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93570700)-sin(0.93559324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593249426463462-0.593341001552608)×R²
    abs(-0.39749277--0.39768452)×9.15750891463674e-05×R²
    0.000191749999999991×9.15750891463674e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.15750891463674e-05×40589641000000     		ar = 525304.36748066m²