Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14309 / 18525
↖ ↑ ↗
← N 61.362512°
W101.398315°		 ← 292.73 m → N 61.362512°
W101.392822°		 →
↑
292.75 m
↓
↑
292.75 m
↓
N 61.359880°
W101.398315°		 ← 292.75 m →
85 700 m²		 N 61.359880°
W101.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218345642089844 y=0.282676696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218345642089844 × 216)
    floor (0.218345642089844 × 65536)
    floor (14309.5)     		tx = 14309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282676696777344 × 216)
    floor (0.282676696777344 × 65536)
    floor (18525.5)     		ty = 18525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14309 / 18525 ti = "16/14309/18525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14309/18525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14309 ÷ 216
    14309 ÷ 65536     		x = 0.218338012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18525 ÷ 216
    18525 ÷ 65536     		y = 0.282669067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218338012695312 × 2 - 1) × π
    -0.563323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76973446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282669067382812 × 2 - 1) × π
    0.434661865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36553052257692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76973446} λ = -1.76973446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36553052257692))-π/2
    2×atan(3.91780098262259)-π/2
    2×1.32088710486605-π/2
    2.64177420973211-1.57079632675     		φ = 1.07097788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76973446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.398315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07097788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.362512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14309 KachelY 18525 -1.76973446 1.07097788 -101.398315 61.362512
    Oben rechts KachelX + 1 14310 KachelY 18525 -1.76963859 1.07097788 -101.392822 61.362512
    Unten links KachelX 14309 KachelY + 1 18526 -1.76973446 1.07093193 -101.398315 61.359880
    Unten rechts KachelX + 1 14310 KachelY + 1 18526 -1.76963859 1.07093193 -101.392822 61.359880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07097788-1.07093193) × R
    4.59500000000723e-05 × 6371000     		dl = 292.747450000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07097788-1.07093193) × R
    4.59500000000723e-05 × 6371000     		dr = 292.747450000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76973446--1.76963859) × cos(1.07097788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479266202776916 × 6371000     		do = 292.729935230474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76973446--1.76963859) × cos(1.07093193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479306531188539 × 6371000     		du = 292.754567331077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07097788)-sin(1.07093193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479266202776916-0.479306531188539)×R²
    abs(-1.76963859--1.76973446)×4.03284116233249e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03284116233249e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03284116233249e-05×40589641000000     		ar = 85699.5475851014m²