Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14309 / 10584
↖ ↑ ↗
← N 53.592505°
W 22.796631°		 ← 725.07 m → N 53.592505°
W 22.785645°		 →
↑
725.08 m
↓
↑
725.08 m
↓
N 53.585984°
W 22.796631°		 ← 725.18 m →
525 779 m²		 N 53.585984°
W 22.785645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436691284179688 y=0.323013305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436691284179688 × 215)
    floor (0.436691284179688 × 32768)
    floor (14309.5)     		tx = 14309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323013305664062 × 215)
    floor (0.323013305664062 × 32768)
    floor (10584.5)     		ty = 10584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14309 / 10584 ti = "15/14309/10584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14309/10584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14309 ÷ 215
    14309 ÷ 32768     		x = 0.436676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10584 ÷ 215
    10584 ÷ 32768     		y = 0.322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.12664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39787627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322998046875 × 2 - 1) × π
    0.35400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1121360711853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39787627} λ = -0.39787627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1121360711853))-π/2
    2×atan(3.040846927485)-π/2
    2×1.25308099504233-π/2
    2.50616199008466-1.57079632675     		φ = 0.93536566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39787627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.796631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93536566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.592505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14309 KachelY 10584 -0.39787627 0.93536566 -22.796631 53.592505
    Oben rechts KachelX + 1 14310 KachelY 10584 -0.39768452 0.93536566 -22.785645 53.592505
    Unten links KachelX 14309 KachelY + 1 10585 -0.39787627 0.93525185 -22.796631 53.585984
    Unten rechts KachelX + 1 14310 KachelY + 1 10585 -0.39768452 0.93525185 -22.785645 53.585984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93536566-0.93525185) × R
    0.000113809999999992 × 6371000     		dl = 725.083509999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93536566-0.93525185) × R
    0.000113809999999992 × 6371000     		dr = 725.083509999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39787627--0.39768452) × cos(0.93536566) × R
    0.000191749999999991 × 0.593524176982808 × 6371000     		do = 725.072430426109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39787627--0.39768452) × cos(0.93525185) × R
    0.000191749999999991 × 0.593615769265901 × 6371000     		du = 725.184323154132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93536566)-sin(0.93525185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593524176982808-0.593615769265901)×R²
    abs(-0.39768452--0.39787627)×9.15922830925231e-05×R²
    0.000191749999999991×9.15922830925231e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.15922830925231e-05×40589641000000     		ar = 525778.629210958m²